I.2.3...Xxi.2.3...[J.XI.2.3...vX

qu'on pourra donner de valeurs différentes aux nombres >^, [j., v, . . ., de manière que l'on ait

Supposons la quantité e étant toujours telle que /e= i; on aura

et la fonction dérivée de l'ordre m sera

on aura de même

Donc, puisque y— z?^/", ..., il s'ensuit que la quantité

pourra se développer en autant de termes de la forme

i.2.3...Xxi.2.3...[j.xi.2.3...vx...

qu'il y aura de manières différentes de satisfaire à l'équation

ce qui s'accorde avec ce qu'on a trouvé d'une autre manière à la tin de la Leçon IV.

Faisons maintenant

p = ./•«, q — x^ /• = jr;^-, ..., X. 8

on aura

en faisant

Donc, prenant les fonctions dérivées des ordres m, 1, a, v, on aura

jf"') — A(A — i) (A — 2). . .(A — m + 1)0;'^-'", pO-) z= a{a -- i)[a — 2]. . .[a — l -i-i] x«"\ qi\>-)= b{b — i]{b— 2]. ..[b — i).-\-i) x'''^, r'^) — cic —i][c — 2]. . Ac — ') 4- il.r''-''.

Donc, puisque

A — inz=. a — \ -\- b — [a + c — v 4- . . . , a quantité

se trouvera composée d'autant de quantités de la forme

qu'il y a de manières différentes de satisfaire à l'équation

ce qui indique une analogie singulière entre le développement de la puissance d'un multinôme et celui du produit continuel du même degré.

En effet, ayant développé une puissance comme

en ses différents termes, on aura tout de suite le développement du produit continuel

où

en substituant dans chaque terme, à la place des puissances a', b^, (•', . . ., les produits continuels

On trouve une démonstration directe de ce théorème, pour le binôme, dans l'ouvrage de Kramp, qui vient de paraître sous le titre à' Analyse des Réfractions.

Nous terminerons cette Leçon par une observation importante sur la nature des fonctions dérivées.

Il est facile de se convaincre, par la manière dont les fonctions dérivées dépendent de la fonction primitive, que ces fonctions sont absolument déterminées, de sorte qu'une fonction donnée ne peut avoir que des fonctions dérivées données aussi et uniques pour chaque ordre.

Il n'en est pas de même des fonctions primitives à l'égard de leurs dérivées; car, puisque la fonction dérivée de toute quantité constante est nulle, il s'ensuit que, si une fonction donnée est primitive à l'égard d'une autre fonction donnée, elle le sera encore, étant augmentée ou diminuée d'une constante quelconque. Ainsi une fonction donnée peut avoir une inimité de fonctions primitives à raison de la constante qu'on y peut ajouter. Mais il ne s'ensuit pas que toutes les fonctions primitives dont elle est susceptible ne puissent différer que par une constante; c'est ce que nous allons démontrer.

Soit une fonction donnée /(a;), dont ^{oc) et ^(a?) soient également fonctions primitives; on aura donc, par l'hypothèse,

Y'[.x)^f[x), et ^\.r)=f[x);

donc, prenant les fonctions dérivées successives, on aura aussi

et de même

^"[x)^f[jc), ^»'[œ]-=f"[x),

Considérons maintenant les fonctions

'Ç[x + i) et vj[x + i); on a, par le développement,

donc, substituant les valeurs de ¥{oc), Y"{x), . . ., on aura

Y{x + i)^¥[x] + if[x)-^-'^f[x) + -f-^f"[x]+..., et de même

, ^[a: + i]^o[x] + if[x] + '^f'[x] + ^f"{x)-r...,

donc, retranchant l'une de l'autre ces deux équations, on aura

Comme cette équation doit avoir lieu quels que soient x et i, et que le premier membre est une fonction de x + i, et le second une pareille fonction de x, il est visible que cette fonction ne peut être qu'une constante indépendante de x et i. On aura donc nécessairement

K étant une constante, et par conséquent

F(^) = c?(^)-hK;

d'où l'on voit que, si 'ù[x) est une fonction primitive àef{x), toute

autre fonction primitive ¥{x) de la même fonction /(j?) ne pourra différer de 9(^) que par une constante.

Il suit de là que, lorsqu'on aura trouvé d'une manière quelconque une fonction primitive d'une fonction donnée, en y ajoutant une constante arbitraire, on aura l'expression générale de la fonction primitive de la fonction donnée.