LM - H2 ,, LN - G2 , MN - F

GH -+- FL , FH -+- GM , FG + HN

-4- 2 r Au. — 2 - — r Av — 2 y.v = V :

car pour cela il n'y aura qu'à supposer

LM~H2= «p + fif + ylf, = xf'< + [3 g-'2 + yh»,

= «//"' + ?>§§' + yàh', = «//" + $gg"+yhh",

= «f'f"-i-^g/g"-hyh'h".

Pour pouvoir maintenant résoudre ees équations, je remarque que les neuf quantités/, g, h,f, g', h',... auront nécessairement entre elles des relations analogues à celles qu'on a trouvées dans le n° 7 entre x, y, z, ce', y', z',...\ d'où il s'ensuit que, si l'on t'ait, pour abréger,

LM - H2 LN — G2 MN - F2 A = s , B = 5 , L = — A ,

GH + FL . FH + GM FG + HN

(il ne faut pas confondre ces quantités A, B, C, a, b, c avec celles que nous avons dénotées ailleurs par les mêmes lettres), on trouvera les combinaisons suivantes

A/ + af + bf" = af, B/' + af + cf" = «/', Cf" + bf + cf = xf", \g + ag' + bg"=pg, Bg'-hag-hcg" = &g', Cg" -4- bg + cg'—fig", A/n-h ah' -4- bli" = yh, B/*' + ah -+- c/?' == y h', Ch" + 6/i -+- clï = yh ".

Des deux premières de ces équations on tire

f, (A— oc)c — ah (A — a R — a) — cû

J " (R-«)6- «c;' ■' (B — a)6 — flc " •/'

et ces valeurs étant substituées dans la troisième on aura, après avoir divisé par /et fait disparaître les fractions, cette équation en y.

y. — A ; ( a — B j ! a — C ) — c2 ( a — A ) — b2 ( a — B ) — a- ( ex — C) — 2 a bc = o.

Si l'on traite de même les équations suivantes, on en tire celte autre équation en /S

(3 — A) ((3 — B)({J — C)^-cs((3— A) — 62((3 — B) — «3(P — C) — iabc = o.

Et les trois dernières équations donneront pareillement celte équation en y

D'où il est facile de conclure que les trois quantités a, |3, y seront les racines de celle équation du troisième degré

p — A)(p — B)(p- C - c2(p — A)-- 62(p- R —a p — C) — iabc- <>,

savoir

o3 — (A -+ B H C p -t- AB -f AC -+■ RC - rr - h' - C p

ABC -+- c*A -4 h7 H H «»C — y-abc = o.

Or cette équation, étant d'un degré impair, aura nécessairement une racine réelle; mais je vais démontrer qu'elle les aura par cela même toutes trois réelles.

Pour cet effet je remarque que si l'on prend la racine réelle de l'équa-

f f" lion dont il s agit pour a, les deux quantités ■ .. ei • seronl nécessairement réelles, ce qui est évident par les valeurs ei-dessus de ces quantités;

, . . . ^ . g' B . Il' Il

et le vais prouver OU alors les «manilles ' • ' , ainsi nue , ? -, seronl

réelles aussi; après quoi noire proposition sera démontrée, parce qu'on

604 NOUVELLE SOLUTION DU PROBLÈME DU MOUVEMEN' a, par la quatrième des équations ci-dessus,

et par la septième

' il h

Qu'on multiplie la première des mêmes équations par la quatrième, la deuxième par la cinquième, la troisième par la sixième, et qu'on ajoute ces trois produits ensemble, on aura (à cause de /g -h f g' ->rf"g" = o par les formules du n° 7) cette équation

{Af + af + bf"){Ag + ag'+bg", + (Bf + af 4- cf')(Bg' 4- ag + cg" ) + (C/" + bf + cf ) (Cg" + bg + cg-' ) = o,

c'est

-à-dire

divisant

par/^,

+(cf

si g

On trouvera de même, en ajoutant ensemble les produits de la première par la septième, de la deuxième par la huitième et de la troisième par la neuvième, et ayant attention que fh -\-/'h' +f"h" — o, on trouvera, dis-je, celle-ci

( A/ + af + bf" ) ( A h + ah' + blï ) + ( Bf 4- af + cf" ) (Bh' -4- a/* + ch" | -4- (C/" -4- />/ + c/' ) (CA"-f- bh + ch' j = o,

mais on aura par les formules du n° 7 appliquées au cas présent

'*=f'g"-g'f"> h'=f"g-g"f, V'=fg'-gf'-< donc si l'on substitue ces valeurs dans l'équation précédente, et qu'on la

divise par f-g, elle deviendra

>+-f-*f)K#-#)Hf-f)+*£Lf)]

«f— f)[-(f-fM£-#Mf-f)]

-cf— f)Kf-fM£-#Mf-ï)]~

On a donc ainsi deux équations linéaires entre les deux inconnues 2-,

— 5 de sorte que les valeurs qu'on trouvera pour ces inconnues seront

nécessairement réelles.

Enfin on aura

il si §L £

* /'g" /V' /J ££££' fg fg fg fg

par conséquent les valeurs de t- et de y- seront aussi réelles. Il s'ensuit de la démonstration précédente que :

Toute équation du troisième degré réductible à la forme

.r3 — A -4- B 4- C xi + 'AB+ AC 4- BC — a" — tP — c1 1 x

- ABC 4- c'A 4- 1>>B 4-a'C — 2abc 0

« nécessairement trois racines réelles, quelles que soient les quantités A , h. C, a, /;, c, pourvu seulement qu'elles soient réelles.

Comme ce Théorème est assez remarquable, il sérail utile d'en chercher une démonstration directe; mais ce n'esl pas ici le lieu de nous occuper de cel objet.

Quant aux valeurs de ./,,/',,/'. comme on doit avoir par les formules

• In 11" 7

il n'y aura qu'à substituer dans cette équation les valeurs de/*' el de/

f)(M> NOUVELLE SOLUTION DU PROBLÈME DU MOUVEMENT trouvées ci-dessus, et l'on en tirera d'abord celle de/, qui sera

( B — oc) b — ac

" ~ V'[(B — «)6-ac]2 + [(A — «)c — a6]2+[(A = «)(B — «)- â

ensuite on aura

V'[(B- a)6-ac]2 + [(A- a) c — ab]' ■+■ [(A - a) (B - « —a2]2

v/[(B — a) 6 — ae]2+ [(A - a)c^ab]'+[{A - a) (B - oej—â1}-

On trouvera de même les valeurs de g, g', g" et de h, h', h"; et pour cela il n'y aura qu'à changer dans les expressions précédentes a en |3 pour celles de g, g', g", et a en y pour celles de h, h', h".

Ainsi les douze quantités indéterminées/, g, h, /', g', h', /", g", h", a, |3, y seront connues moyennant la résolution» d'une seule équation du troisième degré, et elles seront nécessairement toutes réelles.

Maintenant, si l'on fait, pour abréger,

nos deux équations à résoudre seront réduites à cette forme

ip + y* + <i>2 = /, »,

«n'+ (3¥2 + y$2=E2, d'où l'on tire facilement

-E2— (y — aiIL

-E2— ((3 — a) il

Or les trois équations ci-dessus étant ajoutées ensemble, après avoir été multipliées respectivement par/ g, h, par/', g', h' et par/", g", h" ', donnent sur-le-champ, en vertu des formules du n° 2 (a, a', a" étant ici supposées égales a i, et b, b', b" supposées égales à zéro, comme on l'a

dit plus haut),

à = / n + g Mr -+- h *, u. =f n + §•' w + A' <i\ v = /" n •+ g" w + a ■■ «l> .

i-k i -il • i do d'il dm .

De plus, si dans les expressions de -jr- —•> —r- trouvées au commencement de cette Remarque, on substitue pour