XV

Au reste, la condition que p cl q soient presque égaux a - ne serait pas nécessaire si Ton supposait que les quantités / et m fussent trèsgrandes du même ordre; car alors les quantités T et V pourraient être

supposées très-petites de l'ordre de ^, el l'on aurait dans cette hypothèse (% XIII ; les équations

Vm Tm

r — cosm - sin/n -+- — - / p — qcosm 2 gsinm •

ut l ni l '»

d'où l'on tire

2 [ r 7 — I 1 SOI/»

de sorte que P= ' ^ ' el N "W^' seront des quantités fort petites.

comme OD l'a suppose dans les calculs du § XII.

Ce cas aura donc lieu lorsque le ressort sera fort long cl qu'il fera un très-grand oombre de tours en forme de spirale. Ainsi, si l'on suppose qu'un pareil ressort soit appliqué à un balancier dont le centre soit C Aa'-7. p. "'i • el que l'une des extrémités du ressort étanl arrêtée en C. l'autre soi I fixée perpendiculairement au rayon C'A du balancier,

on nommera p et r, comme dans le § XIV, les distances données CC' cl AC\ A l'angle donné C'CH et a l'angle variable AC'C, et l'on aura

psinÀ psina

v = r H — r-S tt» Q = ■ , et m — u.m -+- oc — \,

r sin (a — A) ' sin'a — A:

zs étant la circonférence du cercle et u. dénotant le nombre des louis que le ressort fait autour de C et qui doit être fort grand.

Donc la force tangentielle P, qui tend à faire tourner le balancier, sera

à très-peu près, en faisant À = —-,

K2 [X3psina: — ).2sin(g — A)]

p. ET

d'où l'on voit que cette force sera nulle lorsque

7,o sin a = sin (a — A ;

ainsi, dénotant par w la valeur de « qui répond à cette équation, en sorte

que l'on ait

sin A tango

cos A — Xp et supposant en général a = &> -+- <\>, on aura

p K2^2[Xp cosw — cos (w — A)] siri^

et le moment pour faire tourner le balancier sera Pr.

Donc, si l'on nomme H le moment d'inertie du balancier, el qu'on

fasse, pour abréger,

k-À2r[Xpcos&) — cos(o>- V a m H

on ama, pour le mouvement du balancier, l'équation

^=-11 sin*, dP

qui est la même que celle du mouvement d'un pendule simple dont la longueur serait |L g étant la force de la gravité; de sorte que le balancier fera des oscillations semblables à celles d'un tel pendule, el le point de repos sent où ^ = o, c'est-à-dire où l'angle <x sera égal à oj.

Ainsi, plus la longueur du ressort et le nombre de ses tours augmenteront, plus le mouvement du balancier approchera de celui d'un pendule simple circulaire, de sorte que le mouvement du pendule peut être regardé comme la limite, et l'asymptote de celui d'un balancier mû par un ressort spiral, pourvu que le ressort soit d'une épaisseur uniforme et que son éUit libre soit la ligne droite.