SUR LES SINSULARITËS DE3 GOURBBS OS QUATRIÈME CLASSE. J

je m'appuierai sur la proposilion suivante (Mémoire de Géométrie analytique, n" 38) :

Si, par les cinquante-deux points singuliers d'une courbe de quatrième classe R, on fait passer une courbe quelconque du dixième ordre, cette courbe rencontre K en seize points distincts des points singuliers; les tangentes menées â K en ces seize points touchent une courbe de quatrième classe.

Puisque les vingt-huit points 3 sont une courbe du sixième ordre C, l'ensemble des courbes S et C détermine une courbe du

dixième ordre passant par les cinquante-deux points singuliers; S ne rencontre d'ailleurs K qu'en ses points de rebroussement; par suite, en vertu du théorème précédent, les tangentes menées à K aux points où cette courbe est coupée par C (abstraction faite des points doubles) forment un polygone Q dans lequel on peut inscrire une infinité de courbes de quatrième classe.

U'= o désignant l'équation mixte d'une quelconque des courbes inscrites dans ce polygone, on aura nécessairement

2SJ — 3TI = SW, d'où

S(aJ - W)= 3TI,

et par suite, en désignant par ji un facteur numérique,

S = 3iil et T = ^(aJ-W).

Considérons maintenant la courbe de qualrlcme classe

U-3[iU'=o,

inscrite évidemment dans le polygone Q; l'invariant I relatif à cette courbe et à K est égal à S — 3 [j.1 et, par suite des relations précédentes, il est identiquement nul.

Les courbes déterminées par les équations

constituent donc un couple harmonique et la proposition est com plètement démontrée.