L. — II. s

On peut donc énoncer !c théorème suivant :

Théorème II. — Si la première polaire d'une droite P, relativement à la courbe de quatrième classe K, se décompose en un point p et une conique résiduelle, la droite P est la droite polaire de p, relativement à la courbe du (fualrième ordre S, qui passe par les vingt-quatre points de rebroussement de K.

D'où encore celte conséquence :

Les vingt et une droites P sont les droites polaires relativement à S des vingt et un points p.

La proposition précédente peut se déLnoiitrer dlreetcmcnt ainsi qu'il ,A :

En désignant par (a, p, v, S) ^^ o i'équation mixte de la première polaire de la droite w = M;r -[- cjK + ws — o, je remarque que, si celte polaire se décompose en une conicpie el un point p, pour ies coordonnées de ce point, on devra avoir a ^o, ^ = o, Y=0, S = o, la langenlc à la polaire étant en ce point entièrement indéterminée.

On a d'ailleurs, pour un tel point (n" 1), ï'=o et l)'=o; d'après la formule {i3) déjà citée de mon précédent Mémoire, on aura donc

Il en résulte que X et IJ sont nuls; autrement (a, 6, c, d, e) serait une puissance exacte, c'est-à-dire que les quatre tangentes menées du point jd à K se confondraienl en une seule, ce qui est impossible.

Les coordonnées du point/? satisfont donc- aux quatre équations

on bien

Remplaçons, dans les deux dernières relations, A par sa S^ — 27 1 , pois -3- et -j- par leurs valeurs tu-ees des dei

GQUnBES DE QUiTRCiSME CLASSE. /fll3

mières; il viendra simplemenl, après avoir supprimé le facteur A, d'où encore, en vertu du théorème sur les fonctions homogènes, La droite polaire du point /?, reJalivement à S, a pour équation

ou, en vcrlii des relations précédentes,

La proposition est donc démontrée.

E). Étant données deux courbes de 11^°'"^ classe K" et K.'", désignons par 1 l'invariant quadratique qui, égalé à zéro, donne l'équalion de la courbe harmonique des courbes données; si le polynôme l est idenliquemeot nul, K" cl K'" jouissent de la propriété d'être vues d'un point quelconque du plan suivant deux faisceaux harmoniques. Je dirai alors qu'elles forment un couple harmonique; si, de plus, n est impair, deux quelconques des courbes du faisceau {K", R.'") formeront un couple harmonique, et je dirai que le faisceau est harmonique.

Etant donnée une courbe K", dont réc|uation mixte est

on peut rechercher s'il est possible de lui adjoindre une autre courbe de même classe K'", qui constitue avec elle un couple harmonique.

En désignant par (a', b', ..., k\ ^') =: o l'équation mixte de K'", il faut déterminer les polynômes a', b', ,. ., de telle sorte que l'on ait identiquement

Nous disposons, à cet effet, des ; — coefficients de'

l'équation deK'"; la courbe représentée par 1 = o étant de degré n,

il en résulle oiie les ^^ ~ coefficients inconnus doivent

satisfaire à un nombre égal d'équations linéaires sans second membre; j'appellerai A le déterminant de ce système d'équations.

6. 11 est important maintenant de distinguer le cas où n est pair et le cas où n est impair.

Si n est impair, le système d'équations est toujours satisfait pour

par conséquent un a toujours A ^ o. De plus, on sait que, si l'on a une solution qui diffère de celle-là, il y en a une infinité; en

d'autres termes, comme je l'ai déjà fait observer, les diverses courbes qui constituent avec la courbe donnée un couple harmonique forment un faisceau.

On pourra donc supposer que l'un des coefficients inconnus est nul, et l'on aura à trouver inconnues satisfaisant à i— — ^- '- équations linéaires sans second menabre, ce

qui, en général, exige que deux relations entre les coefficients soient satisfaites.

On pentdonc énoncer cette proposition :

Étant donnée une courbe de classe impaire, deux conditions doivent être satisfaites pour que cette courbe fasse partie d'un réseau harmonique.

On voit facilement, d'après cela, qu'un système de deux points ne peut former un couple harmonique, ce qui, géométriquement, était évident a priori.

Relativement aux courbes de troisième classe, il est très remarquable que les conditions nécessaires soient toujours satisfaites et que toute courbe de troisième classe fasse partie d'un faisceau harmonique. Cela résulle de la proposition suivante, que j'ai démontrée dans le Mémoire sur l'application de la théorie des ^formes binaires, etc., déjà cité (Journal de Mathématiques, p. ,08) :

Vne courbe quelconque de troisième classe et sa hessienne

9Un LES SinaULAlllTÉS DES COURBES DE QUATRtÈUE CLASSE. 4°^

sont vues d'un point quelconque du plan suivant deux faisceaux harmoniques.

7, Si la courbe K," esL de classe paire, la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle fasse partie d'un couple harmonique est que A ^ o; et je vais d'abord chercher comment on peiit facilement former ce déterminant.

Représentons symboliquement, comme l'ont fait MM. Aronhold et Clebsch, par {au + Ap -i- civ)^ i= o l'équation langenlielle de K", en convenant, dans le développement du trinôme, de remplacer le produit a'^b^ci par le coefficient «apy; l'équation mistc de cette courbe sera [a^~b\ + ci\y-^cc-)Y=o ou [{cy - b)\ + {a^ ^^)i^]"= o.

Semblablement, l'équation mixte d'une seconde courbe K.'" sera symboliquement

L'équation symbolique de la courbe harmonique des deux courbes données sera, par snile,

[icy -*)(«- Y^) - (tjK " ^) (-^ - '^.'•)1" = c>, ou, eo effectuant les calculs,

Si l'on suppose que K." et K'" constituent un couple harmonique, les divers coefficients du développement de ce ti-înome doivent être nuls.

On aura, par suite, les diverses équations

{AY-cp)"=o, (6Y-cp)«'i(«p-6ï) = o, .... (ca -a-;r^o, ( ca -^ «y)"-' (û; |i - 6a) = o, ...;

et A sera le déterminant de ces ~ — — -^ équations, si l'on y

considère comme inconnues les diverses puissances de «, ^ et y.

J'ai calculé par ce procédé la valeur de A, relative à la courbe

générale de quatrième classe; je transcris ici l'expression de cet

invariant, qui, comme je le ferai voir tout à l'heure, présente

quelc]iie intérêt tiaiis i'élude des points de rebroiissemeot de la courbe -

Pour sim|3]ifier récrlLure, j'ai adopte les notations de M. Salmoxi{Higher curves, p. aSi), et |>ris pour équation de la courbe K, l'équation suivante :

Il I ' I

8, Une courbe du sixième ordre étant déterminée par vingt-sept points, on ne peut pas, en général, faire passer une telle courbe par les vingt-huit points doubles d'une courbe de quatrième classe K; mais on peut, à cet égard, énoncer le théorème suivant :

Théorème III. — La condition nécessaire et suffisante pour que les vingt-huit points doubles d'une courbe de quatrième classe soient situés sur une courbe du sixième ordre est que l'invariant i' soit nul.

Ce théorème résulte immédiatement de la proposition suivante :

Si les vingt-huit points doubles d'une courbe de quatrième classe K. sont situés sur une courbe du sixième ordre, elle fait partie d'un couple harmonique; la réciproque est également vraie.

Démonslratio/i. — Soit U ^ [a, h, c, d, e) = o l'éi^iiation mixte de K; supposons que cette courbe constitue im couple harmonique avec la courbe K' dont l'éqoalion mixte est {<!', 6',c', (f,e') = o.

En désignant respectivement par S, T, I et J l'invariant quadratique et l'invariant cubique de U, l'invariant quadratique de U el

de U', et l'expression a' -^ — i-b'-rr-' ••■> j'ai démontré [Memoj'/'e de Géométrie analytique, a° 37 (^Journal de Matliém,atiques, 2' série, t. XVll)], que la courbe du dixième ordre, représenlcc par l'équation

aSJ — 3TI = o,

passait par les vingt-quatre points de rebroussement et les vingthuit points doubles de K. Les deux courbes K et K' constituant un couple harmonique, on a identiquement I = o; la courbe du dixième ordre se décompose donc en deux courbes du quatrième et du sixième ordre S ^; o et J ^:= o. D'ailleurs'S ne rencontre K qu'en ses points de rebroussement; les vingt-huit points doubles se trouvent donc sur la courbe du sixième ordre J =^ o.

Réciproquement, si les vingt-huit points doubles sont situés sur une courbe du sixième ordre C dont l'équation soit W=;o, je dis que K fait partie d'un couple harmonique. Pour le démontrer.