SUR UN THÉORÈME DE GÉOMÉTRIE

Comptes rendus des séances de l'Académie des Scieiii

Dans l'avant-dernier iriméro des Comptes rendus, M. Ribaiicour a donné cette élégante proposition, démontrée depnis géométriquement par M. Manulieim :

Le rayon de courbure géodésique d'une courbe S à courbure normale constante est les § du rayon de courbure géodésique de la section plane II, ayant même tangente et surosculéepar un cercle.

Considérons snr «ne surface quelconque deux courbes S et S' se touchant au point M. Soient p et r te rayon de courbure et le rajon de torsion de la courbe S au point M; m l'angle que fait en ce point le plan osculaleur à la courbe avec la normale à la surface; désignons par des lettres accentuées les valeurs des mêmes

qui

intités relatives à la courbe S'.

Portons enfin sur chacune des deux courbes, à partir du point M, une même longueur infiniment petite ds.

On aura d'abord, en vertu d'une expression donnée par M. Ossian Bonnet de la torsion géodésique,

([) ffe— — = cte'— -7;

puis, en vertu d'une relation que j'ai donnée {Bulletin de la Société philomathique, t. VII, p. 5i),

OU encore, en introduisant, relativement it la première courbe, lo

rayon H de la section normale à la surface et tangente en M ù S,

Supposons maintenant C|iie S soit une courbe à courbure normale constante et S' la courbe plane ayant même tangente et snroscuiée par un cercle; on aura évidemment rfR:^o, rfp';=o et /■' = co.

Les équatioQs (i) el{2bù) deviennent alors

^ tangra ( rfw— — ) = langraVci';

formule qui est l'expression analytique du tliéorènic ci-dessus énoncé.