De là résulte encore que les courbes du troisième degi

passant par sept points fixes, forment un réseau singulier du troisième ordre.

La courbe Rest alors de la qualrièmo classe el du sixième degré : c'est donc la courbe la plus générale de la quatrième classe. Je ne m'étendrai pas sur ce sujet; c'est en effet des propriétés de ce réseau particulier que M, Aronbold à déduit la solution du problème suivant ; Construire la courbe de quatrième classe ayant sept points doubles donnés (ou, pour parler plus exactement, du problème corrélatif : construire la courbe du quatrième degré ayant pour tangentes doubles sept droites données). Je renverrai à cet ég^ird au Mémoire de l'illustre géomètre (').

H. On sait que, généralement, les courbes du quatrième ordre qui passent par treize points fixes ont également en commun irois autres points parfaitement déterminés et forment un faisceau {^).

On voit néanmoins, par ce qui précède, que si deux courbes du quatrième ordre, passant par treize points donnés, se coupent en trois autres points situés en ligne droite, les courbes qui passent par ces treize points forment un faisceau; en d'autres termes, on peut toujours faire passer une de ces courbes par ces points et deux points pris arbitrairement dans le plan.

On peut, en outre, énoncer la proposition suivante :

Si, des seize points d'intersection de deux courbes du quatrième ordre, trois sont situés en ligne droite, deux courbes quelconques du même ordre passant par les treize autres points d'intersection se rencontrent en trois autres points qui sont également en ligne droite.

(') AjiOMiOLD, Ueber den gegenseitigeit Zusamiiienhang der ï8 Doppeltai, geatea einer aUgemeinen Curée /\ten Grades {Monatibericht der K. P. A. s Berlin, i864, p- 499)-

(') Salmon, Higker plane curves, 2* édition, p. 16.

SUR QUELQUES PROPRIETES