En vertu des équations (i) et (a), on voit que l'équation
d'une quelconque des courbes du réseau peut se mettre sous la forme
5 et ïi étant tes coordonnées de son point principal. Soit
une autre courbe du réseau ayant pour point principal (^', V)i si A et B ne sont pas nuls en même temps, pour tout point commun aux deux courbes, on aura
D'où la proposition suivante :
Indépendamment des (n^ — n -j- \) points qui leur sont com-
miins, deux courbes quelconques du réseau se coupent en (n — i) autres points qui sont situés sur une même droite. Le n^^"" point oii cette droite rencontre l'une quelconque des courbes est le point principal de cette courbe.
4. De là se déduisent immédiatement quelques corollaires dont la démonstration est immédiate et qu'il suffit d'énoncer :
1° Si deux courbes du réseau se coupent en (n — i) points distincts des picots, on peut par ces {n — i) points faire passer une infinité de courbes du réseau; les points principaux de ces courbes sont situés sur la droite contenant les {n — i) points d'intersection.
2° Etant donnée une courbe quelconque du réseau ayant pour point principal le point M et étant pris arbitrairement dans le plan le point V, si l'on mène PM, cette droite rencontre la courbe en {n — i) points distincts du point M; ces {n — i) points et le point P sont situés sur une courbe du réseau ayant pour point principal le point P.
5. Les résultats qui précèdent peuvent encore s'énoncer ainsi : Étantdonnée une droite dans le plan, les courbes du réseau, qui ont pour points principaux les différents points de la droite, ont en commun (n — i) points situés sur cette droite; je les appellerai, pour abréger, les points centraux de la droite.
Cela posé, on peut énoncer la proposition suivante :
Si une droite tourne autour d'un point fixe, le lieu de ses points centraux est la courbe du réseau ayant ce point fixe pour point principal.
6. Étant pris un point quelconque M dans le plan, imaginons la courbe du faisceau ayant pour point principal le point M et menons par ce point les tangentes à la courbe dont ie point de contact est distinct de M.
Je dis que ces droites sont tangentes à une même couibe K, En effet, MA étant l'une de ces tangentes et A. le point où elle touche la courbe, si l'on désigne parMj un point quelconque de la droite MA : la courbe du réseau ayant M) pour point principal passe par
les {n — i) points distincts de M où la première courbe coupe MA : elle rencontre donc MA en deux points confondus en A, et lui est tangente en ce point. Les deux faisceaux de droite émanant du point M et du point iVI, ont donc la droite MA en commun et la proposition est démontrée.
On peut, d'ailleurs, du point M, mener à la courbe du réseau qui a M pour point principal [n? — n — a) tangentes ayant nn point de contact distinct de M.
D'où le théorème suivant :
Si, de chaque point M du plan, on mène à la courbe du réseau ayant ce point pour point principal les tangentes dont le point de contact est distinct de M, toutes ces droites enveloppent une même courbe K, qui est de la classe (n* — n — 2).
7. Supposons le point M choisi de telle sorte que la courbe du réseau, qui a M pour point principal, possède nn point double : deux des tangentes issues do point M coïncideront, d'ori il suit que le point M est situé sur K.
D'où cette conclusion :
La courbe K est le lieu des points principaux des courbes du réseau qui possèdent un point double.
Si la courbe du réseau ayant (5, il) pour point principal a un point double, on a simultanément les trois équations
rfA , dB rfC
l ^ dx
et l'cquation de la courbe K s'obtiendra en éliminant x, y eV z entre ces trois relations.
D'où il suit que :
La courbe K est du degré 'i{n — i ).
8. Des considérations qui précèdent résulte encore la proposition suivante :
Si, de chaque point M du plan, on mène à la courbe du ré-
seau dont ce point est le point principal les tangentes dont le point de contact est distinct de M, les points de contact de toutes ces tangentes sont situés sur une même courbe H, gui est aussi le lieu des points doubles des courbes du réseau.
Il est facile de démontrer analjtîquement l'ideniité de ces deux lieux.
Il est clair, en effet, que l'éqiialion du lieu des points doubles du réseau s'obtient en éliminant ^, vj, Ç entre les éqiiations (4) ; cette équation est donc
rfA
rfB
rfC
di
UA
rfB
rfC
dr
rfA
dp.
rfC
dz
dz
dA ^ rfC
dœ ds; do!
dk d^ dC
dy dy dy
ou, encore, puisque l'on a identiquen dy dy
:ntC = — A^ — B^-,
D'autre part, soit
(5) A(3^ — 0-hB(j-ï|) = o
l'équation de la courbe du réseau ayant pour point principal le point {^, ïj); l'équation de la tangente au point {.x^ y) de celte courbe est
KY-r)[m
en exprimant que cette tangente passe par le point (^, ri), i la relation
dB
Eliminant (^ — x) et (ïi — y') entre cette relation cl 1 tion (5), il vient
dy \dx dy l
dx
ce qui est bien l'équation que nous avions trouvée pour le lieu des points doubles du réseau.
La proposition que j'avais énoncée est donc vérifiée^ et l'on voit en outre que la courbe H est du degré 3(n — i).
9. Soient deux courbes de degré n; supposons que(n — i)de leurs ft^ points d'intersection soient situés sur une même ligne droite, je dis que leurs {n'^ — n + i) autres points d'intersection sont les pivots d'un réseau singulier de l'espèce de ceux que je viens d'examiner.
En effet, la propriété dont je parle étant projective, on peut supposer que la droite iqiii renferme {« — i) des points d'intersection est la droile de l'infini; et, en choisissant convenablement les axes, on voit que les équations des deux courbes peuvent se mettre respectivement sous la forme
Q et Q' désignant des polynômes du (n — tf^'^' degré e et P un polynôme homogène et du même degré par rap| variables. De là résulte immédiatement que l'équation
5(Q-^P7)^-';(Q'-P^)-UQ^ + Q»-o
est celle d'un réseau singulier ayant pour pivots les (ri^ ■ points d'intersection des deux courbes données qui ne situés à l'infini.
na; etjK, îort à ces
