FORMULE RELATIVE AUX COURBES TRACÉES
SUlî LES SURFACES DU SECOND OliDUI'l.
taies de Mathématiques: 'S-;o.
1. J'ai énoncé, comme exercice, dans les Nouvelles Annales, la proposilion suivante :
Étant donnés deux points quelconques A et B d'une sur/ace du second ordre, si en ces points l'on mène les normales à (a sur/ace, et si l'on désigne par a et b les points oà ces normales coupent unplan de symétrie tjtietconcjue de la surface, le plan mené par le milieu de la corde AB et perpendiculairement à cette corde passe par le milieu du segment ab.
La même propriété peut s'énoncer ainsi : Les projections des normales Aa et Bb sur la corde AB sont égales et de signes contraires.
D'où la proposition suivante :
Soient deux points A et kl situés sur une surface du second ordre; désignons par N et N' les longueurs des normales en ces deux points, c'est-à-dire les longueurs des segments compris sur chaque normale entre la surface et un de ses plans de symétrie, par V et V les angles que font respectivement les directions de ces normales avec la direction de la corde AA'; on a, quelle que soit la position de ces deux points sur la surface, la relation
2. Imaginons mainLenant une courbe quelconcjue C tracée sur une surface du second ordre, et soient M et M' deux points infiniment voisins de celte courbe; la relation précédente aura lieu pour ces deux poinls. N désignant la normale'au point M, N + rfiN sera la normale au point M'. Il s'agit maintenant d'évaluer le rapport des deux cosinus cosV et cosV.
A cet effet, je me servirai des désignations et des formule^ employées par M. Serret dans sa Note Sur les lignes de courbure des sur/aces insérée dans le Traité de calcul différentiel de Lacroix {p. 298).
Désignons par a, p, y les angles que foi'me, avec trois axes rectangulaires, la tangente à la courbe au point M dont les coordonnées sont x,y, z; par 5, u, ^ elî., jjl, v les angles formés avec les mêmes axes par la normale principale et par l'axe du plan osculateur. Soient aussi de et d-f\ les angles de coniingence el de torsion.
Désignons par a', j3', / les angles formés avec les axes par lu normale à la surface du second ordre au point {x, j, z). On peut toujours assigner une ligne à double courbure C qui corresponde point par point à la courbe C, de telle sorte que la tangente en un point de cette courbe soit parallèle à la normale menée à la surface du second ordre par le point correspondant de la courbe G. Soient 5'i u', t,' et V, ^', v' les angles que font avec U maie principale et l'axe du plan osculaleur de celte ci de plus, ds:' et d-t^' les angles de contingence el de torsion.
Cela posé, on peut écrire les trois groupes ; mules, par lesquelles les angles w el ra se trouvent complèlemenl définis :
s la irbe; soient, rsion.
/anls de for-
La différentiation de ces éqiialions conduit aux trois suivantes : (2) £inwrfe'=sinii!rf=,
(ï) rfij'-i- dm = ^ cosBi rfî,
(4) dni = t/i] -H coso) ûÎj'.
3. Pour évaluer cosV et cosV, je remarque que, les cosinus des angles que fait la normale au point M avec les axes étant respectivcnienl coscc', cos^', cosy', le cosinus de l'angle que fait la normale au point M' avec l'axe des x esl
eNpression qui, en prenant l'arc de la courbe pour variable indépendante et en employant les formules données par M. Serret (Lacroix, p. 284 et suivantes), devient
co5ol'-(- cos^'i/ô'-t- -{coii;d'-z'—c(iii'd'J^—coiVd&'dr{).
Les cosinus des angles que fait cette normale avec les deux autres axes auraient une forme semblable; li est inutile de les écrire.
Glierchons maintenant les cosinus des angles que fait avec les axes la corde MM'; il suffit évidemment de trouver des quantités proportionnelles à ces cosinus. On pourra donc, au Heu de ces cosinus, employer les projections de la corde MM' sur les trois axes, ou bien S^, Zy e\. Zz : x -{- tx, y + ^y et s -H 3s désignant les coordonnées du point M'.
La formule de Tajlor donne, en se bornant aux premiers
or —j~ = cosa; on pourra donc prendre, pour le cosinus de l'angle que fait avec l'axe des x la corde MM', l'expression
expression qui, au moyen des formules de M. Serret, devient
cos«-H icOsS^e-H U'^oii.d^'. ~ COiadC- — tOil. dl dr,).
Les deux autres cosinus auraient une forme semblable; il esL inulile d'ea donner la valeur.
Ceci posé, la formule connue qui donne le cosinus de l'angle de deux droites fournit immédiatement, en employant les relations (A), les deux expressions suivantes ;
(5) cosV=— ^sinrurfs-isinra^B- ^cosra</£ ûÏt,,
i cosV' = - -smmdt— ^ sinrarf-^ï — Uosm rfe rf-») + sLnuirft'
( cosET costu f/e tfï'H — sinio rf's' iiosuids'dT\'.
Celle dernière expression peut se simplifier; on a, en effet, d'après l'équation (a),
en ontre, en diffcrcntianl cette dernière relation, on obtient
s.in-ù d^s.' — d{s\n'^ de) — cosM di- di^,
ou bien, comme d'après l'équalion (3),
dv> = ~ dij' — cos T7I de, siniu d'i'= rf(sinra J:) H- cosio de' dj)' -i- cos eu cosrrr rfe<fe';
en portant ces valeurs de siawde' et de sinwt^^s' dans l'équation (6), il viendra, toutes réductions faites,
(7) cosV'= ' sincrrfe— ^ îinra^':— ^cosrarfsrfi] -i- d{s'mmd£).
L'équation (1) devient donc, en multipliant les deux termes du second membre par 3,
^ sinra</£ — ^sinrarf's— ^ cosTn rfe rfii ^- af{sin ra £^e)
d'où, en réduisant,
j„ î,iB„<i'.+ îco,»A<J,-o!(,in,<(.)
rf(s
nmds) a dfi
SI
nwd£ 3 tang
tangTij
OU bien encore
Remarquons inainlenanL que ds — — r p éUnL le rayon de courbure de la courbe C, el que l'arc est la variable indépendante ; par conséquent, on a d'^s = ds d(-j- La relation précédente devient donc
^ = - l(p) liii3 + ^ '^^ -
Vp/ p
d'oii, en intégrant,
lofçN = 2)og~ — log^^^ + l f
et, en passant des iogarilhmes aux noi: dénominateur 3,
D'où l'on déduit la proposition suivante, en remarquant que m désigne le complément de l'angle que fait avec la normale à la surface la normale principale de la courbe C :
Théorème. — Étant donnée une courbe quelconque tracée sur une sur/ace du second ordre, désignons, en un point que: conque de cette courbe, l'angle de torsion par d-i\ et par complément de l'angle que fait en ce point, avec la non à la surface, la normale principale ; cela posé, si l'on considère un arc de la courbe compris entre les points A^ et A,, et si V on désigne respectivement par ^„ ei N|, po e( pi, c^o ei W) les valeurs de la normale, du rayon de courbure de la courbe et de l'angle ro aux points extrêmes de l'arc, on a la relation suivante :
l' intégrale contenue dans le second membre s' étendant le long de la courbe dupoint A^ au point A,.
A, La formule précédente fournit aisément les relations connues pour les lignes géodésiques ei les lignes de courbure des surfaces du second ordre.
Considérons d"abord une ligne gcodésiqiie; d'après la définition de cette ligne, on a pour tous ses points sinra = i et langra = oo ; l'intégrale contenue dans le second membre de l'cqualion (8) est donc nulle, et ii vient simplement
Nî , N| Pi ■ Po ^'' d'où cette proposition :
Le long d' une même ligne géodésique tracée sur une sur/ace du second ordre, le rayon de courbure de la courbe est proportionnel au cube de la normale.
C'est le théorème de Joachimsthal.
5. Supposons maintenant que C soit une des lignes de courbure de la surface; alors, d'après le théorème de Lancret, on a
l'intégrale contenue dans le second membre de l'équalion (8) devient alors
/ wii^ =lossiiira, — logsm7i.„,
le second membre de celle équation devient
d'où l'on conclut que !e long de la courbe — conserve nne
valeurconslante. Remarquons maintenant que, d'après le théorème
de Meusnier, est égal à -> r désignant le rayon de courbure
de la section normale tangente à C; le long d'une même ligne de courbure — conserve donc la même valeur.
D'où cette proposition, due à M. Dtipin :
Le long d' une même ligne de courbure, le rayon de courbure de la section normale tangente à la courbe varie proportionnellement au cube de la normale.
6. Si j'avais voulu me restreindre au cas des lignes géodésiques et des lignes de courbure, il eût été très facile de remplacer les considérations analytiques qui précèdent par des considérations géométriques très simples el 1res éiémenlaires qui eussent conduit immédiatement aux théorèmes de Joachimslhai et de M. Dupin. Je laisse ce soin au lecteur; mon seul but, dans celte Note, était d'établir la formule générale (8), sur laquelle j'aurai plus tard l'occasion de revenir, tant pour en montrer l'application à la géométi-ie des surfaces du second ordre que pour montrer comment elle s'étend aux surfaces de degré supérieur.
