ULTANT DE L'INTERSECTION DE

couples quelconques de points conjugués, l'on mène des plans, les plans ainsi obtenus forment un faisceau en involution.

M. Chasles a donné un théorème analogue, relatif aux cubiques gauches {Comptes rendus, lo août iSS^, n° 22).

5. Soit a, 6 un couple ciueiconque de points conjugués d'une biquadralique gauclie; si par la droite ab l'on mène les plans tangents à la courbe, les quatre points de contact forment deux couples de points conjugués «', b' Ha", é" appartenant au même groupe de points conjugués que a et b.

Ces deux couples sont parfaitements déterminés et les droites a'b', a"b" rencontrent les deux arêtes du lélraôdre T sur lesquelles s'appuie la droite ab. De ces deux couples, il y en a un, c'est celui que je désignerai par a', b', qui jouit de la propriété suivante. Les droites qui joignent chacune des exlrémilés de la corde ab aux deux extrémités de la corde a'b' forment un système de quatre droites situées sur une même surface du second ordre passant par ia biquadratique. Le couple de points conjugués a", b" ne jouit pas de cette propriété.

Je dirai que a'b' et ab sont deux cordes conjuguées et que a"b" et ab sont deux cordes a.isociées, on bien encore, que ces couples de droites sont respectivement des génératrices conjuguées et des génératrices associées de la surface réglée R, lieu des cordes correspondant au mode de groupement (|ue je considère.

Ces définitions établies, on aura les propositions suivantes :

6. Si l'on joint les extrémités de chacune des cordes apparienanl à un mode de groupement donné, par exemple au groupement (R), aux exlrérnîtés de la corde conjuguée, toutes les droites ainsi obtenues sont les génératrices d'une seule et même surface du second ordre, que je désignerai par A. Aux deux autres modes de groupement correspondraient deux autres surfaces du second degré que j'appellerai A, et A^,

Deux cordes conjuguées, appartenant au groupement (R), ou, si l'on veut, deux génératrices conjuguées de la surface réglée R, sont polaires réciproques par rapport à la surface A; en sorte que la surface R est à elle-même sa polaire réciproque par rapport à la surface A.

Si par un point quelconque de la surface A on mène les droites

qui s'appuient sur les divers couples de génératrices conjuguées de la surface R, toutes les droites ainsi obtenues sont dans nn même plan.

7. Si une droite se meut tangentiellement à la surface A, en s'appuyant constamment sur deux génératrices associées quelconques de la surface R, elle touche la surface A suivant la biquadratique dont cette surface est dérivée.

Cette propriété résulte immédialemeni de la proposition suivante : Toute droite (jui touche la surface A en un point de la biquadratique et qui rencontre «ne génératrice de la surface R rencontre aussi son associée.

Le théorème précédent complète une proposition énoncée par M. Ciiasles {Comptes rendus, 34 février 1862, n" 64), el fournit le moyen d'obtenir effectivement une biquadratique donnée par le mode de génération indiqué ci-dessus.

On voit que par toiite biquadratique l'on peut l'aire passer trois surfaces du second ordre fournissant une solution du problème, chacune de ces surfaces correspondant à un des trois modes de groupement des points de la courbe, et, au moyen d'une quelconque de ces surfaces, on peut encore engendrer la courbe d'une infinité de façons différentes.

Les surfaces réglées du quatrième ordre età directrices doubles que j'ai désignées par R, R, et Rj jouissent de propriétés particulières qui méritent d'être signalées.

En général, si l'on considère une surface réglée du quatrième ordre, contenant deux droites doubles D et A, l'on voit que par chaque point a de la directrice D passent deux génératrices coupant A en deux points; de même, par chaque point 6 de i passent deux génératrices coupant D en deii\ points. Les génératrices divisent donc les deiix directrices de telle sorte qu'à un point de D correspondent deus. points de A et réciproquement,

Jja correspondance entre les points des deux droites D et A peut être exprimée par une relation à trois termes de la façon suivante. Il existe en général, sur la droite D, quatre points tels que le couple de points correspondant à chacun d'eux sur la droite A se confond en un seul point; désignons par œ, 7/ et a" trois quel-

DEUX aUBPAGES. 63

conques de ces points. De même il existe sur la droite A quatre points tels que le couple de points correspondant sur la droite D se confonde eu un seul point; désignons par (3, p' et (3" trois quelconques de ces points.

Cela posé, la relation qui existe entre deux points correspondants aetb situés respectivement sur les droites D et i pourra être écrite sous la forme suivante :

relation où p, q et /■ désignent des quantités numériques constantes.

Dans le cas des surfaces que j'ai étudiées dans cette Note, la correspondance entre les points des deux directrices doubles a lieu de telle façon qu'à un couple de points de la droite D correspond un couple de points de la droite A; c'est-à-dire que si, au point a de la droite D, correspondent les deux points b et b' de la droite A, à ces deux derniers points correspondront deux mêmes points de la droite D, parmi lesquels se trouvera nécessairement le pointa.

M. Chastes a depuis longtemps signalé l'importance de ce mode de correspondance dans sou Mémoire Sur la résolution des équations du troisième et du quatrième degré. Les surfaces à directrices doubles du quatrième ordre, pour lesquelles a lieu ce mode de correspondance, joiient dans l'ensemble des surfaces de la même famille le même rôle que les cassiniennes dans l'ensemble des courbes anallagmatîques.

On peut, dans ce cas, exprimer la relation qui existe entre les points correspondants des deux directrices, et cela d'une infinité de façons, par des équations à deux termes; tandis que, dans le cas général, cette relation ne peut pas être exprimée plus simplement que par l'équalion à trois termes donnée ci-dessus.

SUR QUELQUES

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALKS DES COURBES ALGÉRRIQUES

THÉOltlE DES COURBES ET DES SURPiCES l\4LLl(<lUTI0liCS.

iitdletin de la Saciété phllomaUUqiie ; iHâS.

1, Avant d'aborder ce qui esl relatil aux aiiallagniaLiques, je m'occuperai d'abord du lien décril par le sommet d'un angle de grandeur donnée dont les côtés s'appulenl respectivemenl sur deiis courbes fixes. Je dirai d'abord ce que l'on doit entendre par angle de deux droites, lorsque le sens dans lequel doivent êlre prises ces droites n'est pas déterminé. Étant données deux droites A et B, faisons tourner la première autour de leur point de renconlre, et dans un sens déterminé, par exemple celui des aiguilles d'une montre, jusi^u'à ce que cette droite s'applique sur B; je dirai que l'angle ainsi décrit est l'angle que fait la droite A avec la droite B. Si l'on continuait le mouvement de rotation, après avoir décrit un angle égal à it, A viendrait de nouveau s'appliquer sur B. L'angle que fait A avec B n'est donc déterminé qu'à un multiple près de tt; sa tangente est déterminée, mais son sinus et son cosinus ne le sont pas; le double de cet angle esl déterminé à un multiple près de 2Tt, et les valeurs de toutes ces lignes trigooométriques sont parfaitement connues.

Ces définitions étant établies, étant donnés dans un plan deux points fiKes A et B, si l'on cherche dans ce plan le lien du point M, tel que l'angle de MA avec MB ait une valeur donnée (à un multiple près de tc, nécessairement), l'on trouvera pour ce lieu un cercle, passant par les points A et B, et tous les points de ce cercle feront partie du lieu. Le cercle symétrique du précédent

Sun QUELQUES PHOPHIETES DES COURBES ALHEBRIQUES. 63

serait le iieu des poinls M, pour lesquels l'angle de MA avec MB aiiraiL une valeur supplémenlaîre de la valeur donnée précédem-

2. Ceci posé, cherchons le centre du cercle, lieu des points M tels que l'angle que lait MA avec MB ait une valeur donnée ùj. Ce centre est \e foyer singulier de ia courbe, c'est donc le point réel situé sur la tangente menée a cette courbe en un quelconque des ombilics.

Appelons I l'ombilic par leqnel passent les diverses lignes isotropes du plaQ qui ont pour coefficienl angulaire i.

Soit K un point du lieu infiniment voisin du point I, en sorie que Kl est infiniment voisine de la tangente au cercle en I. Le point K appartenant au lieu, l'angle que fait KA avec K.B est égal à w. Maintenant, joignons le point R au deuxième ombilic du plan J; la droite KJ sera infiniment voisine de la droite de l'infini, et le point k' , où elle coupera la droite AB, sera infiniment voisin du point à l'infini sur cette droite. Soit k le point où la droile Kl coupe la droile AB; d'après une proposition fondamentale que j'ai donnée pour la première fois dans une Note Sur la théorie des foyers, insérée dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (i853), l'on sait que le rapport anharmonique des quatre points A, E; k, k' est égal à e^""', quantité qui est parfaitement déterminée {voir n" 1).

L'on aura doi

■ Ti/c' '

d'où eu passant à !a limite et en remarquant que le point k' est alors à l'infini

D'où cette conclusion : Pour Irouver le centre du cercle, Heu des points M tels que l'angle de MA avec MB ait une valeur donnée w, prenons sur la droite AB un point /c tel que le rapport 5-7; ait pour valeur e'"'; menons par ce point la droile isotrope qui passe au point I, le point réel situé sur cette droite sera le centre clierché.

3. Soient mainleiianL deiis courbes quelconques A. et B, cherchons le lieu des poims M tels qu'une des Langenles menées de ce point à la courbe A fasse un angle donné avec une des tangentes menées de ce même point à la courbe B. Ce lieu a déjà occupe divers géomètres, notamment M. Cremona et M. Faure, qui ont déterminé son degré et sa classe. Je me propose ici de déterminer ses foyers principaux; on sait d'ailleurs que cette courbe (en général) ne rencontre la droite de l'infini qu'aux ombilics, qui sont pour elle des points multiples de l'ordre n — i, an étaul le degré de la courbe. Considérons en particulier l'ombilic I; chacune des tangentes menées à la courbe et la touchant en ce point contiendra un point réel qui sera le fojer singulier correspondant à la branche de courbe que l'on considère. Soit un point K situé sur cette branche et à une distance infiniment voisine du point I; en sorte que la droite Kï est inliniment voisine de la tangente en I à celte branche du lieu. Soient K.a et Kt les droites menées tangentiellement aux courbes A et B et qui font l'angle donné ti>. Ces deux tangentes sont nécessairement infiniment voisines de deux droites isotropes; soit F le foyer de A, qui est infiniment voisin du point réel situé sur la droite K.a; soit G le foyer de B, qui est infiniment voisin du point réel situé sur la droite K6.

Je joins le point K au deuxième ombilic du plan J; la droite K.J coupe la droite FG en un point k' infiniment voisin de la droite de l'infini. La droite K.a coupe FG en un point F' infiniment voisin de F, et la droite K6 coupe FG en un point G' infiniment voisin de G. Soit de pins ^ le point où KT coupe FG; d'après la proposition fondamentale que j'ai rappelée plus haut, l'on a

D'où, en passant à la limite et en i et G' viennent alors se confondre avf rioinl /f' s'en va à l'infini,

arquant que les points F' ;s points F et G et que le

L'on obtiendra donc le foyer de courbe considérée, en déte

ngulier correspondant à la branche ninant, sur la droite FG, le pointA'

î ALCEBltlQUES. (17

par cei.le équation, en joignanl ce point à i'ombilic I el en prenant le point réel situé sur cette courbe.

En comparant ce résnltat avec celni que j'ai obtenu dans le paragraphe précédent, l'on en déduit la proposition suivante:

Le foyer singulier, correspondant à la branche de courbe considérée, est le centre du cercle décrit sur FG comme segment et capable de l'angle donné u,

4. L'ensemble des fojers singuliers de la courbe s'obtiendra facilement. Désignons par F, F), . . ., F^ les m foyers de lacoiirbe A, et par G, G, , . . . , G,, les n foyers de la courbe B. Prenons un foyer quelconque F,- de A et un foyer quelconque Fy de B : le centre du cercle, décrit sur F,Fy comme segment et capable de l'angle donné, sera un des foyers singuliers de la courbe ; et on les obtiendra tous en combinant, de toutes les façons possibles, chacun des foyers de B.

Remarquons, en passant, que, d'après ce qui précède, l'équation du degré mn, à laquelle conduit la détermination des foyers singuliers du lieu, sera résoluble par la résolution d'une équation du degré m et d'une équation du degré n.

Un des cas les plus utiles dans les applications est celui où la courbe B se réduit à un point P. La courbe étudiée est alors une podaire, c'est-à-dire le lieu des projections du point P sur les tangentes à la courbe A. Les foyers singuliers de cette podaire sont les points milieux des segments qui joignent le point P aux différents foyers de A.

3. Je vais traiter maintenant le problème inverse du problème précédent. Étant données deux courbes fixes A et B, un angle de grandeur constante se déplace de façon que son sommet parcoure la courbe A, tandis qu'un de ses côtés roule sur la courbe B, quels sont les foyers de la courbe C, enveloppée par le deuxième côté de l'angle?

Pour plus de clarté, je considérerai simplement le cas oùl'angle constant est droit el où la courbe B se réduit à an point fixe P. Le cas le plus général se ramènerait facilementà ce cas particulier.

Je supposerai que la courbe A ait m branches qui se croisent en chacun des ombilics du plan, en sorte qu'elle aura m foyers sin-

geôliers que je désignerai par G, G', elc; soit, de plus, n le nombre des points oii elle coupe la droite des infinis en deiiors des ombilics. On voit que la courbe sera du degré zm-\-ji et qu'elle aura n asymptotes qui ne seront pas isotropes.

Joignons le point llxe P à l'un quelconque des points de la droite de l'infini, distincts des ombilics, qui appai'liennent à !a courbe; la droite de l'infini est perpendiculaire à cette droite ; elle est donc tangente à la courbe C et elle la touche en un point a situé à l'infini sur la direction d'une perpendiculaire à l'asymptote qui passe au point «. Ce point a est d'ailleurs un foyer du lieu ciierché; d'où cette conclusion : Le lieu a n foyers situés sur la droite de l'infini et sur la direction des droites perpendiculaires aux n asymptotes de la courbe qui ne sont pas isotropes.

Menons maintenant par le point ,P la droite isotrope qui passe par l'ombilic I; cette droite coupe la courbe A en »i + n ])oints distincts de l'ombilic. Soit 6 l'un quelconque de ces points; la perpendiculaire au point è à la droite Pè se confond avec celte ligne elle-même; cette droite est donc une tangente isotrope du lieu cherché. Le même raîsonnemenls'appliquerait à la droite isotrope qui joint le pointP au deuxième ombilic J; d'où celte conclusion : Le point fixe Pesl un foyer du lieu cherché, et un foyer multiple qui doit compter pour (m -H n) foyers réels,

La droite PI a encore m de ses points de rencontie, avec I» courbe A, confondus au point I; la perpendiculaire en ce point à PI est indéterminée. Pour voir ce qui a lieu, considérons sur une des branches de la courbe A, par exemple sur celle qui est caractérisée par le foyer singulier G, un point K infiniment voisin du point I. Joignons PK, puis menons en K la perpendiculaire à cette droite; celle perpendiculaire, étant à la limite d'une droite isotrope, le point réel qu'elle contient sera, à la limite, un foyer du lieu cherché. D'un autre côté, la droite IK s'écarte infiniment peu de la tangente en l à la branche considérée de la courbe A; elle coupe donc la droite réelle PG en un point /c infiniment voisin du point G. La droite KJ, s'écartant infiniment peu delà droite de l'infini, coupe PG en un point k' infiniment voisin de celte droite. Soit H le point où la perpendiculaire en K à la droite PK coupe KG; l'on voit facilement que les quatre points P, H, k, k' forment un système de points harmoniques; on a donc ta relation

P'k' ' tik' ~ ''

d'où, en passant à la (imite, PG = GH.

On voit que le poinl H s'obtient enjoignant le point P au foyer singulier G et en prolongeant la droite PG d'une longueur égale à elle-même.

En consiilérant la branche de cotirbe, passant au point J, qui correspond au même foyer singulier G, on obtiendrait aussi une tangente isotrope au lieu cherché passant par H ; donc ce point est un fover de la courbe G.

6. En réunissant tes résultats obtenus précédemment, l'on arrive au résultat suivant :

« La courbe C, définie comme ci-dessus, est de 2(m + «)''""' classe; elle a :

» i" n foyers situés à l'infini et sur des directions perpendiculaires aux n asymptotes de la courbe A qui ne sont pas isotropes;

» 2" Un foyer multiple au point fixe P, qui compto pour

» 3" m autres foyers H, H', etc., que l'on obtient en joignant le point P aux foyers singuliers de la courbe A, et en prolongeani d'une longueur égale à elle-même chacune des droites ainsi obtenues. »

7. Je vais appliquer ce résultat à la recherche de la relation qui existe entre les dilTérents points d'intersection d'une courbe et d'un cercle. J'ai donné cette relation dans ma Note intitulée Théorèmes généraux sur les courbes algébriques, qui a été insérée dans les Comptes rendus (janvier i863). Je la reproduirai ici en la présentant sous une forme plus commode.

Etant donné un système de n droites situées dans un plan, et un axe fixe dans ce pîan, si l'on fait la somme des angles que fait chacune de ces droites avec l'axe fixe, la somme de ces angles (somme qui sera déterminée à un multiple près de tt) mesurera ce qne j'appelle l'orienta/ion du système des droites relativement à i'asc fixe. Le système étant représenté, par exemple, par A, je désignerai simplement son orientation par rapporta un axe donné par

la iioiation (A), Si deux systèmes de droites A. et . même orientation, ce qu'on exprimera par la relation

it est clair que celle propriété subsistera quel que soit l'axe fixe que l'on ait choisi comme terme de comparaison.

Ceci posé, soit une courbe algébrique B de degré />, ne passant pas d'aiUeurs par les ombilics, en sorte qu'elle n'a pas de foyers singuliers. Coupons celte courbe par un cercle quelconque; les 2/> points d'intersection peuvent toujours se distribuer deux par deux sur p droites réelles (dans cette Note, je ne m'occupe exclusivement que de courbes réelles ou du moins ayant une équation réelle), et cela pourra se faire de plusieurs manières, s'il y a plus de deux points d'intersection réels. Le théorème que j'ai donné dans les Comptes rendus peut alors s'énoncer ainsi :

L'orientation du système formé par ces p droites réelles est la même que l'orientation du système formé par les asymptotes de la eourbe B.

Cette orientation est évidemment constante, et lorsqu'on la connaît, on peut, étant donnés (a/) — i) des points d'intersection, construire le dernier point,

8. Je considère maintenant une courbe A, telle que celle que j'ai examinée ci-dessus, possédant m foyers singuliers G, G', olc. et n asymptotes non isotropes, en sorte que son degré est égal à 2m-|-«.

Un cercle quelconque la eoupe en 3{m + n) points distincts des ombilics; soit d un quelconque de ces points. Prenons sur ce cercle un point arbitraire P et désignons par Q le poinl diamétralement opposé à P ; considérons enfin la courbe C, dont j'ai déterminé les foyers dans le n" 6, et qui est l'enveloppe du côté d'un angle droit dont le deiixième côté s'appuie sur P, tandis que son sommet parcourt la courbe A. II est clair que la droite Qrfetles droites analogues sont les diverses tangentes que l'on peut mener à la courbe C par le point Q.

Je rappellerai un théorème que j'ai donné dans ma Note Sur la détermination du rayon de courbure des lignes planes, insérée

BUH QUELQUES TROPRIÉTÉS SES COUBBES AL&ÉBRtOUEH, -,l

dans le Bulletin de la Société philomathique (février 1867), théorème qui peut s'énoncer ainsi :

Si par un point Q pris dans le plan d'une courbe réelle de classe n, on mène les n tangentes à la courbe, l'orientation du faisceau formé par ces tangentes est la même que celle du faisceau formé par les droites qui joignent le point Q aux foyers de la courbe.

Appliquons ce théorème : désignons par (Q<^) l'orienlalion du faisceau de droite formé par Q^d et les droites analogues, par (QP) l'orientation du faisceau formé par les (m -f- n) droites coïncidant avec QP, par (Z) l'orientation du faisceau formé par les droites menées par Q parallèlement aux n asymptotes de la courbe A qui ne sont pas isolropes, par (QH) l'orientation du faisceau formé par la droite QH et les droites analogues; nous obtiendrons ia relation

{Qrf)=(QP) + (QII) + (Z)+'-^,

(Q^)-(QP)-^=(Qri)+[Z).

Imaginons maintenant un sj-stème de {m -\- n) droites réelles passant par les 2(nz -I- n) points d'intersection du cercle et de la courbe A, et soit (T) son orientation, il est facile de voir que l'on a

Transportons, parallèlement à eus-mèmes, de sorie que leur orientation ne change pas, les faisceaux entrant dans le second membre de la relation ci-dessus, en leur donnant comme sommet commun le centre R du cercle. Par suite de la position relative des points H, H', etc. et'G, G', etc., on voit qu'au lieu du faisceau formé parles droites allant du point Q aux points H, H', etc., nous aurons à considérer le faisceau formé par les droites allant du point R aux points G, faisceau dont je désignerai l'orientation par (RG); le deuxième faisceau reste toujours composé des parallèles aux asj'mptotes et la relation donnée ci-dessus peut s'écrire

(T) = (RG) + (Z)^-^^.

d'où le théorème SLiivanl :

Théoebme. — Etant donnée une courbe algébrique, ayant m foyers singuliers et de degré 2m+ n; un, cercle quelconque la coupe en 2(m-\-n) points distincts des ombilics. Si l'on imagine un faisceau de (m-\-n) droites réelles passant par ces points d'intersection, l'orientation de ce faisceau digère de m angles droits de l'orientation du faisceau formé par les n asymptotes de la courbe qui ne sont pas des droites isotropes, et par les m droites qui joignent le centre du cercle aux foyers singuliers de la courbe.

SUR

QUELQIJES PROPRIÉTÉS DES LIGNES SPIRIQTJES.

Butleliii de la Socièic PkiUinialhLqus: iSfii).

1. On désigne sous le nom de lignes spiriques les courbes anallagmatlques du quatrième ordre (|iii ont un axe de symétrie. Ces lignes onL clé depuis longtemps rolijet des études des géomètres, et, récemment encore, M. de La Gniirnerie leur a consacré un remarquable Mémoire inséré dans \eJournalde Lioucille (tStig).

Comme toutes les anallagma tiques, ces courbes ont quatre fojers singuliers, dont deux réels et deux imaginaires; ces quatre foyers sont d'ailleuis les foyers ordinaires des quatre coniques homofocales au moyen desquelles, d'ajirès la proposition de M. Moutard, on peut décrire ces courbes en les considérant comme enveloppes de cercles.

On peut distinguer deux espèces de spiriques; dans les premières, que je dirai être de première espèce, les deux foyers singuliers réels sont situés sur l'axe de symétrie; dans les autres, que je dirai être de deuxième espèce, ce sont les deux foyers singuliers imaginaires qui sont situés sur cet axe. Leurs propriétés, du reste, sout les mêmes au fond, et ne dilï'èrent que par les diverses façons de les énoncer. Dans tout ce qui suit, je considérerai spécialement les spiriques de première espèce.

N'ayant à considérer ici que les foyers singuliers de ces courbes, je les désignerai simplement sous le nom de foyers. Autour do chaque foyer singulier, comme centre, on peut décrire un cercle qui oscule la courbe en chacun des ombilics; je désignerai les deux cercles ainsi définis sous le nom de cercles focaux.

Étant donné un cercle, j'entends par puissance d'un point, rela-

74 eÉoMÉTniE.

llvemenL à ce cercle, le carré de la longueur de la tangente que

l'on peut mener de ce point au cercle.

Les spiriques renferment, comme cas particuliers, un grand nombre de courbes remarquables, notamment les ovales de Descartes, ou, pour me servir d'une expression plus nette déjà employée par M. de La Gournerie, les cartésiennes ; elles peuvenl être considérées comme des spiriques dans lesquelles les deux foyers réels viennent se confondre,

La spirique peut encore s'abaisser au troisième degi-é; je la désignerai dans ce cas, pour abréger, par le nom de cataspirique. La cataspirique n'a qu'un seul foyer; elle peut être considérée comme iine spirique dans laquelle un des foyers est rejeté à l'infini.

Les coniques peuvent aussi être regardées comme des spiriques dont les deux foyers ont été rejelés à l'infini.

D'un point de l'axe d'une spirique,, on peut mener huit normales à la courbe, dont quatre se confondent avec l'axe et dont les quatre autres sont symétriques par rapport à cet axe. Je désignerai sous le nom de points associés les deux points situés d'un même côté de l'axe, et tels que les normales élevées en ces points concourent en un même point de l'axe.

2. Les spiriques jouissent de toutes les propriétés connues des anallagmatiques; elles possèdent en outre des propriétés particulières. Ces propriétés se déduisent facilement de la proposition suivante, qui s'établit immédiatement par la défini tion même des spiriques :

Propositiok. — Ê tant donnés deux points fixes A et Bd'une spirique et un point, mobile G situé sur cette courbe; si l'on joint le point mobile aux deux points fixes et si, par le milieu des cordes ainsi obtenues, on mène des perpendiculaires à ces cordes, ces perpendiculaires déterminent sur l'axe de la courbe deux divisions homo graphiques, dont les points doubles sont les deux foyers situés sur l'axe.

Théouème L — Étant donnés deux points fixes Aet B d'une spirique, si l'on Joint un point C mobile sur cette courbe aux deux points fixes et si, sur les milieux des cordes AC et BG, on mène des perpendiculaires à ces cordes, coupant l'axe de

symétrie aux points a et ^;¥ et G désignant les deux foyers réels de la spirique, le rapport

Fp ■ Gp

demeure constant, quelle que soit la position du point C sur la courbe, et sa valeur est égale au rapport des puissances des points Aeth relativement au cercle focal ayant pour centre le foyer F.

Théorème II. — Étant donnés deux points fixes A e( B d'une cataspirique ^t un point mobile C situé sur la courbe; si, par le milieu des cordes AG et BC, on mène des perpendiculaires coupant respectivement l'axe de la courbe aux points a et p, le rapport

est constant, quelle que soit la. position du, point mobile sur la courbe, et ce rapport est égal au quotient des puissances des points A. ei B relativement à la courbe.

Théorème III, — Étant donnés deux points fixes A ei B d'une cartésienne et un point mobile C situésur la courbe; si, par les milieux des cordes AC et BC, on mène des perpendiculaires à ces cordes, coupant respectivement l'axe de la courbe aux points a et p, la différ

est constante, quelle que soit la position du point mobile sur la courbe, et la valeur de cette différence est proportionnelle à la différence des carrés des distances du foyer aux points A etÈ.

Théobème iV. — Le produit des puissances d' un point quelconque d'une spirique relativement à ses deux cercles focaux est constant.

Théorème V. — Si l'on prend les polaires du point d'une spirique relativement à ses deux cercles focaux, la portion de

la tangente interceptée entre ces deux droites a pour point

milieu le point de contact.

Théouèhe VI. — Etant donnée une corde quelconque AB d'une spirique, si l'on prend les points de rencontre a. et ^ de l'axe avec les normales menées à la courbe par les extrémités de cette corde, et le point K où la perpendiculaire élevée au milieu de la corde coupe cet axe, le point K est l'un des deux points doubles de l'involulion déterminée par les pointsFf G et n, ^.

Ftemarrjue, — Celle propriété est exprimée par la reSalion

Lorsque la coiirUc esl «ne calaspiriqiie, le foyer G esl rejeté à l'inlini, el l'on a la relation

Fk' = Fa. pp.

Lorsque la courbe est une cartésienne, les deiixfojers coïncident en un même point F, et par conséquent les quatre points F, K; K, ^ sont en rapport harmonique.

Si la courbe esl une conique, les deux foyers sont à l'infini et le point. K est le milieu du segment a!3.

THÉonÈMË VIL — Si deux points d'une spirique sont situés sur une même perpendiculaire à l'axe, ou s'ils sont à égale distance du centre de la courbe, les normales en ces points coupent l'axe en des points équidistants du centre.

.1 appelle ici centre de la spiriquo le point milieu des deux fojers.

Théorème VIII. — Le point de l'axe oit concourent les normales en deux points associés et le point oà la perpendiculaire, élevée au milieu de la corde qui le^ joint, coupe l'axe, partagent harmoniquemenl le segment intercepté entre les foyers.

SUR QUELdUKS

THéonÈME IX. -^ Le milieu de la droite qui joint deux points associés quelconques est situé sur une droite fixe perpendiculaire à l'axe.

Théouèmb X, — La somme des carrés des distances des deux points associés à un foyer est constante et égale au double du carré du rayon de ce cercle.

Théorème XI. — Si, par le milieu d'une corde d'une spirique, on mène une perpendiculaire à cette corde, le rapport des distances du point de rencontre de cette droite ai'ec l'axe aux deux foyers est égal et de signe contraire au quotient de la puissance d'une des extrémités quelconques de la corde relativement au cercle focal du premier foyer, par la puissance de l'autre extrémité relativement à Vautre cercle focal.

Théorème XII. — La normale en un point d'une spirique partage la droite joignant les foyers en deux segments dont le rapport est égal et de signe contraire à celui des puissances du point relativement aux cercles focaux.

Théoiîème XIII. — Sur une normale quelconque à une spirique, le rapport des segments déterminés par le centre de courbure, sur la portion de la normale interceptée entre l'axe et la courbe, est proportionnel au carré du sinus de l'angle que la normale fait avec l'axe et au cube de la longueur de la tangente menée du point de rencontre de la normale avec l'axe au cercle décrit sur la droite qui joint les deux foyers comme diamètre.

3. Les spiriques, qui onldeux axes de sjniélrîe, son Là la lois de première el de secoode espèce et jouisseiiL des propriétés précédentes relativement à leurs deux axes. Delà des propriétés particulières que j'exposerai dans une autre Communication.

Les surfaces aiiallagmatiques, ayant un plan de syméti-ie, jouissent relativement aux normales qu'on peut leur mener de quelques-unes des propriétés énoncées ci-dessus. Je développerai plus tard ce point important de leur tliéorie.