A LA THÉORIE DES COURBES UNICURSALES

Comptes rendus des séances de l'Académie des Science

i. En désignant par l un paramètre variable, considérons une courbe imiciirsale dont la tangente soit délerminée par l'éqiialion

où /(t), <f(l) et 9(/) désignent des poljnomes entiers. L'expression de la distance d'un point quelconque du planàcette tangente renferme le radical \/f^{t) + f^(t), que j'écrirai sous la forme P(;) <^/F(t), en mettant en évidence la partie rationnelle. Si F(t) est une constante, la distance d'un point du plan à la tangente est déterminée en grandeur et en signe ; alors la courbe est de l'espèce de celles que j'ai étudiées sous le nom de courbes de direction. Dans le cas contraire, la courbe doit être considérée comme double, en sorte qu'en chaque point on peut mener deux tangentes qui sont des semi-droites opposées.

Une tangente étant donnée (en position et en direction), il lui correspond non seulement une valeur du paramètre (, mais encore une valeur déterminée du radical \J¥{t). Si la courbe est une ellipse ou une hyperbole, F(() est du quatrième degré; en considérant ces coniques comme enveloppes de semi-droites, on doit donc dire qu'elles sont du genre un, et il y existe, à ce point de vue, une infinité d'autres courbes unicursaies du genre un, à

savoir celles pour lesquelles on a

F{t) étant un polynôme du troisième on du quatrième ordre.

Soient K une conique donnée, A et B deux tangentes fixes à cette courbe. Menons une tangente quelconque T et construisons le cycle bien déterminé qui touche A, E et T; ce cycle et la conique ont en commun une quatrième tangente 0 et il est clair, d'après cette construction, que & est parfaitement déterminée quand on se donne T et réciproquement; ces deux tangentes forment une involulion sur la courbe.

T étant déterminée par le paramètre t et une valeur de \/F(i), soient 0 et \/F(9) les valeurs du paramètre et du radical correspondant à la tangente 0 ; il résulte immédiatement de ce qui précède que l'on doit avoir des relations de la forme

0 = *[(, v'fTÔL /FTë) = W[i, i/F(7)],

oii 0 et "î" désignent des fonctions rationnelles, et, en même temps,

t = ^[e, v^F(e)], /FÎT) = w[o, )/¥{¥}].

Ces relations font prévoir le rôle que jouent dans cette question les fonctions elliptiques. En général, si l'on a une courbe quelconque de direction dont l'équation renferme des paramètres variables et si l'on considère les tangentes communes à cette courbe et à la conique H, on déduit du théorème d'Abel la rcla-

où les quantités i, \/F(t), t', \/F{('), . . . sont déterminées par les diverses tangentes communes. Considérant en particulier les cycles qui touchent les tangentes fixes A et B, on a, par suite,

Les tangentes correspondantes T et 0 se coupent en un point M dont il est aisé d'avoir le lieu ; si l'on désigne par a et j3 les points

où T esL rencoûLi-ée par les tangentes correspondant à T et à la semi-droite opposée — T, on voit que T ne rencontre le Jien qu'aux points a. et ^; d'où il suit que le lieu est une conique. D'ailleurs, si T est isotrope, comme elle se confond avec son opposée, les points a et ^ sont confondus : donc cette droite louche ie lieu qui est ainsi une conique ajant les mêmes foyers ipie H. Celte conique passe d'ailleui-s par le point de rencontre des tangentes fixes A et B et elle est entièrement déterminée p;ii' la condition que la bissectrice (') de A et de B lui est tangente. On retrouve ainsi une proposition donnée déjà par Chasies, mais avec moins de précision ; les signes des radicaux qui entrent dans la relation ^i) sont, comme on le voit, parfaitement délermiités |)ar les directions des tangentes considérées.

2. Il résuite de ce qui précède que, si l'on détermine chaque laiigenle à la conique H par l'argument d'une fonclion elliptique, la condition nécessaire et sufiisante pour que quaire tangentes louchent un même cycle est que la somme des arguments soit congrue à zéro, suivant les deux périodes de la fonction. Comme un hypercycle cubique est déterminé par cinq tangentes, on peut énoncer également celte proposition : Pour que six tangentes à H louchent un même hypercycle cubique, it faut et il suffit que la somme de leurs arguments soit nulle.

En parliculier, le problème de construire un cycle osculaleiir d'une conique (*) qui touche une tangente donnée se ramène \x la résolution de l'équation sinam 'ia; ■= sinama.

(') Je rappelle que je nomme bissectrice de: deux semi-droites la droite parfaL tement déterminée qui est le lieu des centres des ejcies qui touchent ces semidroiies.

(') Dans le cas de la pai-abole, le polynôme F(() est du second dcgvé : cette courbe est donc du genre zéro et l'on ne peut plus mener que trois cycles osculalenrj qui touchenL une tangente donnée. Celte tangente et les tangentes menées aux points d'osculation touchent un même cycle, propi>silion analogue à Ih suivante, due à Sieiner t II y a trois cercles oscillateurs à une coiiiguej gui passent par un point de cette courbe ; ce point et les trois points d'osculalion sont sur un même cercle.

Étant donnée une parabole, on peut du reste, à chaque tangente menée à cette courbe, foire correspondre un point d'une hyperbole, de telle sorte que, quand quatre tangentes à la parabole touchent un même cycle, les quatre points correspondants de riijperbole sont sur un même cercle.