COURBES DE DIRECTION DE LA TROISIÈME CLASSE

Nouvelles Annales de Mathématiques, i883.

\. Étant donnée une semi-droite quelconque A, si l'on considère l'ensemble des semi-droites qui lui sont parallèles, on peut les regarder comme concourant en un même point situé à l'infini et que je désignerai par i^. Les semi-droites parallèles à la semidroite opposée — A (' ) peuvent être regardées comme concourant en un même point — A^ situé à l'infini.

Ces deux points doivent être considérés comme distincts, et, si l'on appelle D la droite définie par les semi-droites A et — A, on voit que D renferme deux points situés à l'infini, à savoir A^ et — A.

JVous considérerons les points à l'infini comme situés sur une conique infiniment aplatie et ayant pour sommets les ombilics du plan, et, ]>our plus de clarté, j'appellerai le point A^ un semipoint, en sorte que la conique de l'infini sera le lieu des semîpoinls du plan.

Un point de la droite de V infini doit être considéré comme la réunion de deux semi-points opposés.

Si l'on imagine un cycle variable qui touche constamment deux semi-droiles opposées A et — A, ce cycle, lorsque son centre est rejeté à l'infini, se réduit aux deux semi-points A et — A^.

Un semi-point peut être considéré comme une courbe de direc-

(I) En général, D désigna E« mi-droite opposée.

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lion de la classe un; ii n'y a du reste pas d'autre courbe de direction qui soii de cette classe.

Les courbes de direction de la deuxième classe ne comprennent que les cycles; je me propose, dans celte Note, d'étudier les courbes de direction de la troisième classe.

2. Soit (jL le nombre des tangentes que l'on peut mener à une courbe de direction de la troisième classe et parallèlement à une semi-droile donnée; comme on peut lui mener également |ji tangentes parallèles à la semi-droite opposée, il résulte de là que, par un point de la droite de l'infini, on peut mener à la courbe 2 [i. tangentes distinctes de cette droite. En désignant par p le nombre des points de contact de la droite de l'infini el de la courbe, on a donc

et, comme p ne peut être égal à 3, il en résulte que p = i et[A = 1 ■ Ainsi la courbe considérée louche la droite de l'infini; une semidroile isotrope coïncidanl avec son opposée, on voit en outre que les deux tangentes (distinctes de la droite de l'infini) que l'on peut, d'un ombilic du plan, mener à la courbe, sont confondues; la courbe passe donc par les deux ombilics.

3. Il est clair qu'on ne peut mener à une courbe de direction de la troisième classe qu'une seule tangente T parallèle à une semidroite donnée. Traçons dans le plan un cycle arbitraire R el menons à ce cycle une tangente 0 parallèle à T; je dirai que celte tangente est l'image de T, Si l'on imagine un nombre quelconque de tangentes à la courbe considérée et si l'on mène langentiellemenl à K des tangentes parallèles, ces dernières (ou si l'on veut encore leurs points de contact) formeront l'image des tangentes à la courbe. On voit qu'une tangente à la courbe est déterminée quand on se donne son image sur le cycle K.

4. Considérons une courbe de direction de la troisième classe H el une tangente quelconque T à cette courbe. Par chaque point de cette semi-droite, on peut mener à la courbe deux tangentes distinctes de T; soient a A et Aa' les tangentes issues d'un point quelconque A de T. Inscrivons dans ces deux semi-droites un cycle

quelconque K. sur lequel nous ferons l'image des tangentes à H. Soîl B un autre point quelconque de T; désignons par B^ et p'B les tangentes issues de ce point et soient yé ety'6 leurs images sur !e cjcle fixe K. H est clair que si l'on se donne la semidroite bf, la tangente B(3 est déterminée et, par suite, le point B ainsi que la deuxième tangente B^' et son image èy'. Des deux

Fis- '■

fi/ \

tangentes au cycle R, b-( et èy', l'une étant déterminée quand on se donne l'autre, il en résulte qu'elles forment un système en involulion et que leur point de rencontre b décrit une droite du plan. Cette droite U passe du reste par le point A, puisque les tangentes Aa et A et' se confondent avec leurs im

chaque point B de la droite T correspond \

ipoir

droite U; les points B et 6 déterminent donc sur ces droites des divisions homographiques et, comme le point A se correspond évidemment à lui-même, on en conclut que la droite B6 passe parun point fixe du plan.

Pour déterminer la position de ce point fixe, je remarquerai que, si le point B s'éloigne à l'infini sur la tangente T, l'une des tangentes que l'on peut de ce point mener à la courbe est la tangente opposée à T. Si donc nous menons au cycle K la tangente % antiparallèlc à T, le point b est situé sur cette semi-droite et la droite 6B se confond avec % qui, par suîte^ contient le point fixe

Soit P ce point fixe; par ce point menons une droite parallèle à Uet coupant Tau point w. Le point w' où Pu rencontre U étant situé à l'infini, les tangentes menées de w' au cycle K sont oppo-

sées et ont ponr directions celles déterminées par la droite Pw; il résulte donc de ce qui précède (jneles tangentes issues de u sont les deux semi-droites opposées déterminées par la droite Pw, qui est ainsi une tangente double apparente de la courbe.

Ainsi la courbe de direction de la troisième classe !a plus générale passe par les ombilics du plan, touche la droite de l'infini el a une tangente double apparente; c'est donc un hypercjcle cubique, on, en d'autres termes, une anticaustrque par réflexion de la parabole, les rayons incidents étant parallèles.

S. La proposition que je viens de démontrer peut encore s'énoncer de la façon suivante :

Considérons une tangente quelconque T à un hypercycle cubique H ; d'un point A, pris arbitrairement sur cette semi-droite,

menons les deux tangentes à la courbe A a et Aa'qui sont distinctes de T, puis inscrivons dans ces semi-droites un cycle quelconque K.

Menons à ce cycle la tangente Ô anliparallèle à T et soit P le point où cette tangente rencontre la tangente double PP' de la courbe ; soit de plus AU la droite menée par A parallèlement à P.

Cela posé, si, par le point fixe Pj on mène une sécante arbitraire coupant respectivement T et U aux points B etb, les tangentes que l'on peut mener à l'hypercycle par le point B sont parallèles aux tangentes menées du point b au cycle K.

6. Par le point P menons an cycle K la tangente PGc qui est distincte de 6; il est clair, d'après la proposition précédente, que

cette seini-droÏLe est également tangente à l'tiypercycle, et qu'en faisant varier le cycle K, qui est assujetti à la seule condition de toucher les tangentes Aa et Aa'j on obtiendra ainsi toutes les tangentes à la courbe.

Remarquons maintenant que le cycle qui touche à la fois les tangentes Aa, Aœ', PC est précisément le cycle K, que celui qui touche PC et les deux tangentes opposées PP' et P'P se réduit au point P; enfin que, des deux tangentes communes à ces cycles, l'une est C et l'autre la semi-droite & dont la direction reste constante, quelle que soit la tangente PC considérée; nous pourrons alors énoncer la proposition fondamentale suivante :

Théorème I. — Soient A., A' et B, B' deux couples de tangentes à un hypercycle cubique H eï T une tangente quelconque à cette courbe; construisons les deux cyclesqui touchent respectivement A, A' ei T, B, B' et T; ces deux cycles ont T pour tangente commune, la seconde tangente commune 0 est parallèle à une semi-droite fixe .

11 suffu, pour démontrer ce théorème, de remarquer qu'une transformation par semi-droites réciproques transforme un hypercycle cubique en une courbe de même espèce et que l'on peut toujours effecluer la transformation de telle sorte que les tangentes B et B' se transforment eu une tangente double apparente de la courbe transformée; auquel cas le théorème résulte immédiatement des remarques qui précèdent.

6. Le théorème précédent donne une propriété remarquable de six tangentes quelconques à un hypercycle. En voici d'aulres conséquences :

Étant donnés deux couples de semi-droites fixes A, A'etB, B' et une direction fixe 0,,, menons une semi-droite quelconque 0 parallèle à ©p, puis construisons les cycles qui touchent respectivement A, A' et 0, B, B' et 0. Ces cycles, qui touchent 0, ont en outre une deuxième tangente commune T; cette tangente, lorsque 0 se déplace parallèlement à elle-même, enveloppe un hypercycle cubique tangent à A, A', B et B',

Si l'on fait varier la direction ©0, on déterminera ainsi tous les

hypercycles cubiques qui louchent les quatre semi-droites A, A', B el B'.

7. Comme application, supposons que les tangentes A et A' soient les tangentes isotropes issues du fojer F de la courbe et que les tangentes B et B' soient les semi-droites opposées définies par la tangente double apparente PQ.

En désignant par Tnne tangente quelconque à l'hjpercycle, on voit que le cycle, qui louehe T et les droites isotropes issues de F,

est le cycle K qui a précisément F ponr centre; le cycle qui touche T, B et B' se réduit au point de rencontre a de T el de PQ. La seconde tangente commune à ces deux cycles est la semidroite U qui est l'antisjmétrique de T par rapport à la droite aF. On peut donc énoncer la proposition suivante, qu'il sérail 1res facile da reste de démontrer directement :

Un hypercycle ayant pour foyer le pointY et pour tangente double la droite PQ, si a désigne le point où une semi-droite quelconque T tangente à la courbe coupe la droite PQ, l'anlisymétrique de T relativement à la droite Fa a une direction constante.

8. Étant données quatre semi-droites quelconques A,, A^, Aj et Aj, construisons les bissectrices (A,, A^), (A,, Aj), (A,, A.,){'); les foyers des paraboles qui louchent ces trois droites sont les foyers

e je désigne par la aotation (C, D) la bissectrice de deuï G et D, c'est-à-dire la droite parfaitement déterminée qui :s des cycles qui touchent ces semi -droites.

des bypercjcles cubiques qui louchent les semi-droiies données; on sait d'ailleurs, par un théorème connu, que le lieu des fojers de ces paraboles est le cercle circonscrit au triangle déterminé par les trois bissectrices.

Ainsi le lieu des foyers des bypercjcles cubiques qui touchent quatre semi-droites données est un cercle K, et, comme il est facile de le voir, ce cercle est celui qui contient les centres des quatre cycles inscrits dans les triangles que l'on peut former avec les semi-droites données en les prenant trois à trois.

Soient K| , Kj et K^ trois de ces cycles el a,, a^ , ccg leurs centres; F désignant le foyer de l'un quelconque H des hypercycles qui louchent les semi-droites données .A,, A^, Aj et A,, il résulte de ce qui précède que F, a, , a^ et as sont situés sur le cercle K.

En d'autres termes, si l'on appelle I et J les deux ombilics du plan, le rapport anharmonique des semi-droites FI, «[I, a^I et ct^I est égal au rapport anharmonique des semi-droites FJ, a,!, a^J et ttj J ; ce que l'on peut encore énoncer de la façon suivante :

Si l'on mène à l'hypcrcycle H et aux cycles K,, Kj etKj des tangentes parallèles à une droite isotrope d'un système, puis des tangentes parallèles à une droite isotrope de système différent, les deux systèmes de semi-droites ainsi obtenues ont même rapport "anharmonique.

Remarquons maintenant qu'une transformation par semi-droites réciproques transforme un hypercycle cubique en une courbe de même espèce, que le rapport anharmonique de quatre semi-droites parallèles se conserve après la transformation el que la transformation peut toujours être choisie de façon que deux semi-droites prises arbitrairement aient pour transformées des droites isotropes : nous en conclurons immédiatement que la proposition précédente subsiste pour des directions quelconques prises dans le plan.

D'où le théorème suivant :

Théouème II. — Soient A,, A^, Aj et Aj quatre semi-droites el K,, Ra, Kj les cycles inscrits dans les triangles que l'on peut former en adjoignant successivement à A, deuœ quelconques des semi-droites A,, A^ eï A^; soit depfusïl un hypercycle cubique quelconque qui touche les semi-droites données. Cela

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posé, si l'on mène à lacourbe et aux trois cycles des tangenies parallèles à une direction quelconque, le rapport anharmonigue de ces quatre semi-droites est constant.

On peut encore l'énoncer ainsi qu'il suit :

Théobéme III, — Étant donnés trois cycles qui touchent une même semi-droite A, si une semi-droite T se déplace de telle sorte que le rapport anharmonique de cette semi-droite et des tangentes, menées aux trois cycles dans une direction parallèle, ait une valeur constante k, T enveloppe un hypercycle cubique tangent à ^et aux trois semi-droites qui touchent à la fois deux des cycles donnés (' ).

Bemarque. — En faisant varier le nombre k, on déterminera

ainsi tous les hjpercjcles qui touclienl les quatre semi-droites dont je viens de parler.

9. Considérons le faisceau des hjpercjcles cubiques qui touchent quatre semi-droites données A), A^ÂsCtA,. Soient A et i' deux semi-droites prises arbitrairement; à chacune des courbes du faisceau on peut circonscrire un angle, et un seul, dont les côtés soient parallèles à A et à A'; il résulte de ce qui précède que le lieu du sommet de cet angle est une conique dont les asymptotes sont parallèles à A et à A'.

En particulier, quand les semi-droites A et A' viennent à se confondre, on obtient la proposition suivante :

Si, à chacune des courbes du faisceau, on mène une tangente parallèle à une semi-droite donnée A, le lieu du point de contact est une parabole dont l'axe est parallèle à A.

JO. L'étude des courbes de direction de la troisième classe se rattache à an autre genre de considérations d'une grande importance dans la théorie générale des courbes de direction.

Ëtaot donnée dans un plan fixe une droite quelconque D, on peut, par cette droite, mener deux plans isotropes qui sont distincts si la droite n'est pas elle-même une droite isotrope; nous rattacherons respectivement ces deux plans aux deux semi-droites A et — A déterminées par la droite D.

Ainsi, par toute semi-droite du plan, passera un plan isotrope parfaitement déterminé. Cela posé, étant donnée une courbe quelconque de direction K, si l'on imagine les divers plans isotropes qui contiennent les tangentes à celte courbe, ces plans envelopperont une surface 2; en d'autres termes, si l'on considère la développable isotrope ( ' ) complète qui est circonscrite à K, celle développable se décompose en deux surfaces distinctes, qui correspondent à K et à la courbe qui lui est opposée.

11. Il résulte de là que la classification des courbes planes de direction se ramène à la classification des surfaces développables isotropes.

Étant donnée «ne surface développable isotrope S de classe r, tout plan sécant P la coupe suivant une courbe de direction K, qui est de la même classe. Je ferai remarquer en outre qu'en désignant par 0 l'arête de rebroussement de 2 la projection orthogonale de © sur le plan P est la développée de la courbe K suivant laquelle le plan coupe la développable.

Les cônes isotropes qui ont pour sommets les divers points de 6 coupent le plan P suivant les cycles osculateurs de la courbe K.

12. On voit, en particulier, que l'étude des courbes de direction de la troisième classe se ramène à celle des développables isotropes de troisième classe et ces courbes sont toutes de la même espèce, puisqu'il n'y a qu'une seule espèce de développables de la troisième classe.

(') J'appelle développable isotrope une surface développable duiit tiiute^ les génératrices sont des droites isotropes et dont, par suite, les plans osculateurs sont des plans isotropes. Voir, k ce sujet, mon Mémoire sur l'emploi des imaginaires en Géométrie {Nouvelles Annales, 3* série, l. XI, 187s).

Des considérations analogues à celles que je développe ici ont été employées par M, Stephanos dans diverses Communications orales faites à la Société niathe' matigue de France,

Soient ® une cubique gauche isotrope et S ladéveloppable isotrope dont elle est l'arête de rebroussement ; on voit que toute section plane de S est un hjpercjcie cubique ( en d'autres termes, une anticaustique par réflexion de la parabole, les rayons incidents étant parallèles) ; la projection orthogonale de 0 sur un plan quelconque est par suite une caustique de parabole.

13. Comme application, considérons un hjpercycle cubique K; soient S la développable qui est l'enveloppe des plans isotropes, qui contiennent les diverses tangentes à l'hypercycle, et Q la cubique gauche qui forme son arête de rebroussemant.

Considérons trois tangentes quelconques A, B et G à l'hjpercycle; désignons respectivement par a, 6 et c les points où elles touchent la courbe et par a, p et y les points où les plans isotropes menés par A, B elC louchent la cubique ft. Ces plans osculateurs de S se coupent en un point S qui, d'après un théorème connu, est situé dans le plan déterminé par les trois points a, ^ et y; soilT la droite suivant laquelle ce plan coupe le plan P de l'hypercjcle K.

Les cônes isotropes ayant respectivement pour sommets a, pely coupent le plan P suivant les trois cycles Ro, R; et Ro qui osculent K aux points a, b et c, et l'axe de similitude de ces trois cycles est évidemment la droite T. Le cône isoirope ayant pour sommet le point 5 a pour trace sur le plan P le cycle inscrit dans le triangle ABC et, comme le point 3 est dans le plan a^y, il en résulte que le centre de similitude de ce cycle et de l'un quelconque des cycles Ro, Rj et R^ est situé sur T.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Étant donnés trois points quelconques a, b, cd'unhypercycte cubique, si l'on imagine les cycles Ra, Rj el R^ guiosculent la courbe en ces points et le cycle R qui louche les tangentes menées en ces mêmes points, les six centres de similitude de ces quatre cycles considérés deux à deux sont sur une même droite.

là. On doit remarquer en particulier le casoùle plan, qui contient les points a, p et y, est un plan isotrope; la proposition précédente peut alors s'énoncer ainsi qu'il suit ;

Étant donnés un hypercycle cubique K et une ssmi-droîle

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arbitraire A située dans son plan; il y a trois cycles oscillateurs de K qui touchent i. Les tangentes menées aux points

d'osculation et la semi-droite A sont tangentes à un même cycle.

lo. J'énoncerai encore le corollaire suivant :

Si, par un point quelconque^, pris dans lepland'unhypercycle cubique K, on mène des tangentes à la courbe et si Von considère les trois cycles qui l'osculent aux points de contact, Vaxe de similitude de ces trois cycles passe par le point P.