On peut encore énoncer la proposition suivante

Si l'on désigne par (A, A'), (B, B'), (C, G) trois couples de semi-droites formant une immolation, les cycles inscrits dans les triangles ABC, AB'C et A'BC touchent une même semidroile.

Supposons, en particulier, que les senii-droîtcs doubles de l'ijivolution soient les droites isotropes passant par un point O du

SUR LES ASnCATlSTiaUËB PAR RÉFRACTION DE LA PARABOLE. 677'

plan, deux semî-droilcs conjuguées sont alors symétriques [)ar rapport ail point O; d'où celte conclusion

Si (A, A'), (B, B') et (C, CJ) sont trois couples de semi-droites symétriques par rapport à un point O du plan, les cycles inscrits dans les triangles ABC, ÂB'G et A'BG touchent une même senti-droite.

Le même théorème aurait encore lieu si la symétrie des couples avait lieu par rapport à une droite quelconque du plan.

i. Une parabole peut être considérée comme un hypercycle et comme une courbe double; en chacun de ses points on peut mener deux tangentes qui sont des semi-droites opposées. Ses semi-droites fondamentales sont les se mi -droites opposées déterminées par l'axe de la courbe; il en résulte que deux tangentes conjuguées sont symétriques par rapport à l'axe.

Tontes les propriétés des hypercycles appartiennent donc à la parabole et constituent des propriiSrés nouvelles de cette courbe.

5. Ti'ansformons une parabole par semi-droites réciproques en prenant pour axe de transformation l'axe de la courbe elle-même; il est clair que les semi-droites fondamentales de la transformée seront encore les semi-droites opposées déterminées ))ar l'axe et que les tangentes conjugnées seront symétriques par rapport à cet

Réciproquement tout hypercycle jouissant de la propriété, que deux tangentes conjuguées sont symétriques par rapport à une droite D, est la transformée d'une parabole P ayant celle droite pour axe; l'axe de transformation est également D.

Un point quelconque M de la parabole a pour transformé un cycle K dont le centre décrit une parabole P ayani pour axe D, tandis que son rayon varie proportionnellement à sa distance à l'axe; la transformée est donc une des anticaustiques par réfraction de la parabole P', lorsque les rayons incidents sont perpendiculaires à l'axe.

Je la désignerai sous le nom à' anticauslique principale.

6. Ainsi les anlicaustiqnes principales sont les hypercjcles pour lesquels les semi-droites fondamentales sont opposées.

Considérons une telle courbe el soit F le point où une tangente isotrope coupe son axe, la tangente sj'métric|iie étant la seconde droite isotrope qui passe par ce point, on voit que F est le foyer de la courbe el que les droites isotropes, qui se croisent en ce point, forment un couple de tangentes conjuguées.

Menons une tangente parallèle à une direction perpendiculaire à l'axe, sa symétrique lui est opposée; nous avons donc une tangente double apparente perpendiculaire à l'axe, et les deux semidroites opposées qu'elle détermine constituent également un couple de tangentes conjuguées.

Soient i^fig. i) une anlicaustique principale ayant F pour foyer et DD' comme tangente double, AT une tangente quelconque à

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celle courbe. ]>es deux droites opposées DD' et D'D formant un système de tangentes conjuguées, on voit que le cycle qui touche ces tangentes et la tangente AT se réduit au point A oii cette tangenie coupe DD'; son point de contact avec ce cycle est également le poinl A. D'autre part, le cycle qui touche les droites isotropes issues du point F et la tangente AT est le cycle qui a pour centre F; son point de contact avec AT est donc le pied P de la perpendiculaire abaissée du point F.

D'une proposition fondamentale énoncée plus haut, il résulte d'ailleurs, puisque les droites isotropes issues du point F constituent un système de tangentes conjuguées, que la distance AP est constante en grandeur et en signe; ainsi :

Toute anticaustique principale peut être considérée comme

alIR LES A NTJ CAUSTIQUES PAR RliFKACTlON DE LA P.lLiAIIOLE. 679

l'enveloppe d'un des petits côtés d'un triangle rectangle de forme invariable dont l'extrémité, située sur l'hypoténuse, décj'it une droite, tandis que l'autre petit côté passe par un point fixe.

Les anlres anticausliques élani des coiirbes parallèles à l'anticaustique principale, on peul énoncer encore la proposilion suivante :

Soit ÂBCD un quadrilatère de forme invariable, dans lequel les deux angles Q et C sont droits; si l'on déplace ce quadrilatère de jaeon que le côté BC passe par un point fixe F et que le sommet A décrive une droite A, le côté CD enveloppe une anticaustique d' une parabole ayant pour foyer le point F, les rayons incidents étant perpendiculaires à l'axe.

7. La proposition que je viens de démontrer peul s'énoncer ainsi :

Si, du foyer d'une anticaustique principale, on abaisse une perpendiculaire à une langenle à celte courbe, la distance A, comprise entre le pied de cette perpendiculaire et le point où la tangente rencontre la tangente double, est constante.

Plusieurs cas parliciiliers sont à remarquer ; dans le cas où A = o, la courbe se réduit à une parabole; quand la tangente double passe par le fojer, la courbe a alors le foyer pour centre.

Enfin, quand 4 est égal à la distance du foyer à la tangente double (c'est le cas delà réfiexion), la classe de la courbe s'abiiisse et elle devient un hypercycle cubique, ou plus exactementelle se décompose en un hypercycle cubique et un semi-poir lini sur la perpend

De là une propr peut énoncer ainsi

Si des rayons, menés parallèlement à une direction quelconque, se réfléchissent sur une parabole, parmi toutes les anticaustiques correspondantes, il y en a une qui a un axe de symétrie; si, du foyer de la parabole, on mène une perpendiculaire à une tangente quelconque à cette courbe, la distance, comprise entre le pied de cette perpendiculaire et le point où

ilaire abaissée du foyer sur la tangente double, ité nouvelle de l'hypercycle cubique, que l'on

lu tangente rencontre la tangente double, est constante et égale à la distance du foyer à cette tangente double.

8- Soilune anlicairstiqiie principale ayanL pour foyer le point F el pour taogenle double la droite DD'.

Considérons (Jîg. i) une Langente AT à cette courbe el construisons le cycle polaire de celle semi-droite; nous savons cju'îl lui est langent. Il touche également la conjuguée harmonique de Aï relalivetnent aux deux tangentes opposées DD' et D'D, (|iii constituent un couple de tangentes conjuguées; le centre de ce cycle est donc sur la droite menée par le point A perpendiculairement à DD'. Ce cycle louche la conjuguée harmonique de AT relativement aux deux droites isotropes issues du point F (ces droites forment en efl'et un couple de tangentes conjuguées); et, comme celte conjuguée est la symétrique de AT relativement au point F, le centre clicrcbé est sur la droite menée par le point F parallèlement à AT.

Ce centre est donc le point a et, le cycle polaire d'une tangente Ipucbant celte semi-dmile en son point de contact avee la courbe, on voit que le point de contact de AT est le pied m de la perpendiculaire abaissée du point a.

On serait arrivé à ce résultat en considérant l'anlicausliqne comme t'enveloppe du côté d'un iriangle rectangle de forme invariable dont un sommei A décrit la droite DD' pendant que le côté PF passe par le point (ixe F; il est clair, en efl'et, que le centre instantané de rotation de la figure est le point a que j'ai déterminé précédemment.

Pour construire le centre de courbure correspondant oit point m, je remarque que, la tangente conjuguée de AT étant la symélrique relativement à E'axe de la courbe, le cycle, qui touche l'anticaustique au point m et la conjuguée de AT, a i>uii centre au point de rencontre de !a normale mai avec la droite, menée parallèlement à DD', par lepointaoiiîa langente AT rencontre l'axe.

En désignant par p ce point de rencontre, il résulte d'un lliéorème, que j'ai donné dans mon Mémoire sur les hypercycles, que le centre de courbure cherché est le point w symétrique de p par rapport à a.

1 WTICAUSTIQDBS P

9. Une anticaiisllquc |irincipalc élanl. iJoDnée, il imporle de construire la parabole sur laquelle se soiil réfractes les rayons.

Pour ia solulioii de celte question, je démontrerai d'abord quelques lemmes préliminaires. Un cercle étant décrit sur un segment AB comme diamètre {Jig- 2), soient m et n les projections

sur ce diamètre de deux points M et N de la courbe, et P la projection sur la droite iVIN de l'eslrémité A du diamètre. Cela posé,

Umme H. — En désignant pari le milieu delà corde MN,-

kï' ^ Xm.kn.