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■U. Considérons mainleoani deux paraboles II et H' {fig. i) ayant le point F pour fojer et pour sommets respectifs les deux points a et i de la droite F*.

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Par un point quelconque M de cette droite, menons une tangente à chacune des paraboles et soient respectivement A et B leurs points de contact; on sait que le cercle, ayant pour centre le foyer F et passant par le point M, contient les points A et B; j'appellerai N le point où il rencontre de nouveau l'axe F4>.

Du point M abaissons une perpendiculaire MP sur la droite AB, et, par le point I milieu du segment AB, menons une parallèle à l'axe qui rencontre MP au point R, il est clair que la figure MRIF est an parallélogramme.

Soient maintenant a et ^ les milieux respectifs des segments MA et MB; la droite a^ est évidemment parallèle à AB et partagée en parties égales par la droite MI en son point milieu O; d'où il suit que la figure R^Fa est un parallélogramme.

Ainsi les segments R p et aF sont égaux et parallèles ; c, b et a

SUR LKa flNTICAUSTlQtliS 1'

étant les pieds des perpendiculaires abaissées sur l'ase des points R, p et a, on a donc

Fi; = F«, + Fii

d'oii il résulte que Fc est constant el que, quand le point M varie, le point R décrit la droite ce'.

J'abaisse maintenant du point F ia perpendiculaire FS sur la droite MP, du point R la perpendiculaire RG sur la droite FI et du point N la perpendiculaire NQ sur la droite AB; il est clair que RS est égal à FG, et encore à NQ, car il est aisé de voir que la figure GQFN est un parallclogranime.

Or, en désignant par A' et R' les pieds des perpendiculaires abaissées sur l'ase des points A et B, il suit du lemme II que l'on a

D'où il suit que la longueur RS est constante lorsque le point M se déplace; nous avons ainsi un triangle rectangle RSF dont un petit côlé passe constamment par le point F, tandis que l'autre petit côté est constant et que le sommet R décrit la droite ce'.

Il en résulte donc, d'après ce que j'ai démontré plus haut, que RS enveloppe une anticaustique principale de parabole; Je centre instantané de rotation étant d'ailleurs évidemment le point I, la tangente RS louche son enveloppe au point P.

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D'où il suit qne ce rapport est constant et que K. est l'anlicaiistique principale de U parabole II, les rayons incidents étant perpendiculaires à l'axe et le module de réfraction étant

On démontrerait de même que K. est l'aniicaustique principale de la parabole II', les rayons incidents étant perpendiculaires à

t !e module fie réfiaclinn

13. Il esl maintenant facile de résoudre le problème siiivaiil :

Un hjpercycle K. est l'enveloppe du côté RS d'un triangle rectangle RSS', dont le côté SS' passe constamment par le point fi'^e F {Jlg- 3), dont le côté RS a une longueur constante et dont le sommet R décrit la droite ce') trouver les paraboles pour lesquelles cette courbe est une auticaustique principale,

 cet elîei, que du point F on abaisse une perpendiculaire à ce' l'enconlrant le côté RS en M, et que de ce même point comme centre on décrive un cercle H passant par M; que l'on déicrrnine le point de rencontre I de la droite menée par F perpendiculairement à SS' et de la droite menée par R perpendiculaii'emenl à ec' , puis que par I on mène une droite 4 parallèle à SS'. Cela posé, si l'on imagine les deux paraboles qui, ayant F pour foyer et ayant leur axe perpendiculaire à ce', passent respeclivemenl par tes points de rencontre de A et du cercle il, on obtiendra les deux paraboles pour lesquelles K est une anlicaustique principale.

11 esl à remarquer que ces deu's paraboles ne sont pas toujours réelles; elles seront imaginaires si la droite A et le cercle H ne se rencontrent pas.