SUR L'EMPLOI DES IMAGINAIRES EN GÉOMÉTRIE

Nouvelles Annales de Mathématiques -,

Définition des droites isotropes et des ombilics. — Coordonnées isotropes. — Représentation d'un point imaginaire. - Distance de deux points imaginaires.

1. Dans tout ce qui suit, je considérerai toujours un plan réet cl les figures tracées dans ce plan. Plus tard, en traitant de la Géométrie de l'espace, j'examinerai quelles modifications et quelles restrictions on doit apporter aux résultais obtenus, quand on veut les appliquer à des plans imaginaires el aux figures tracées dans ces plans.

Considérons donc un plan réel, el dans ce plan deux axes rectangulaires réels Ox et Oy, auxquels nous rapporterons les points du pian suivant la méthode de Descaries.

Soient A un point quelconque de ce plan, a et ^ ses coordonnées réelles ou imaginaires.

L'équation d'un cercle ajanl ce point pour centre et la longueur p pour rayon sera

Si nous supposons que le rayon p décroisse indéfinimeul jusqu'à devenir nul, la courbe représentée par l'équation précédente variera de forme, en demeurant toujours un cercle. A la limite, pour p = o, elle représentera un cercle de rayon nul; remarquons que, dans ce cas, le premier membre de son équation se décom-

( ' ) Nous reproduisons ici la prcmïâre leçon du Cours de Gé( professé cette année par M. Laguecre à la salle Gecson.

et

en sorte que, en réalilé, le cercle de rajon nul ayant pour centre le point réel ou imaginaire dont les coordonnées sont a et P si; décompose en deux droites dont les équations sont

et

Ces droites remarquables, eu lesquelles se décompose un cercle lorsque son rayon devient nul, sont caractérisées évidemment patcette propriété très simple d'avoir respectivement + i et — (' pour coefficient angulaire.

Si donc l'on imagine tracées dans le plan toutes les droites analogues que l'on obtiendrait en considérant tous les cercles de rayon nul ayant pour centres les différents points du plan, l'on voit que toutes ces droites formeront dans le plan deux systèmes de droites parallèles.

Pour l'un de ces systèmes, le coefficient angulaire est -i- i, en sorte que la droite de ce système qui passe par le point (a, |3) a pour équation

je dirai que cette droite est la drohe isotrope du, premier système passant par le point (a, p). Toutes les droites isotropes du premier syslème étani parallèles entre elles concourent en un même point de l'infini, qui est défini par le coefficient angulaire commun à CCS droites; dans tout ce qui suit, je désignerai constamment ce point de la droite de rinriin par la lettre 1.

Pour l'autre système, le coefficient angulaire est — i, en sorte que la droite de ce système qui passe par te point (a, p) a pour équation

je dirai que celte droite csl la droite isotrope du second système passant par le point (a, §). Toutes les droites de ce second sys-

tème concourent en un même point de la droite de l'infini, que je désignera! constamment par la lettre J.

2, Il était nécessaire, vu l'importance des droites remarquables que je viens de mentionner, de leur donner un nom spécial, bref et expressif. L'expression de droite isotrope, n'ayant pas encore de signification en Géométrie, m'a paru convenable pour atteindre ce but; elle se justifie en remarquant que l'équation d'une quelconque de ces droites, comme il est facile de le vérifier, ne change pas de forme lorsque, conservant la même origine pour les axes, on passe du système d'axes primitif à un autre système d'axes rectangulaires quelconques.

Une propriété essentielle de droites isotropes, et qui pourrait servir à les définir, est la suivante : la dislance entre deux points quelconques d'une droite isolrope situés à distance finie dans le plan est nulle. En d'autres termes, ces droites satisfont à l'équation différentielle

Sur une surface quelconque, on peut étudier les courbes qui satisfont à cette équation différentielle; ces courbes sont des lignes géodésiques de la surface, et nous leur donnerons aussi le nom de lignes isotropes.

Les deux points remarquables de la droite de l'infini vers lesquels convergent les deux systèmes de droites isotropes d'un plan, et que nous avons désignés par les lettres I et J, méritent aussi, vu leur fréquent usage, une dénomination simple et concise; je les désignerai sous le nom <ï ombilics du plan; ces points jouent, en effet, dans le plan, le même rôle que jouent, dans la théorie des surfaces du second ordre, les ombilics de ces surfaces situés à l'infini.

3. De ce qui précède, il résulte que par chaque point du plan réel ou imaginaire passent deux, droites isotropes, l'une du premier système et l'autre du second système, et que ces droites peuvent être obtenues en joignant le point donné aux deux ombilics du plan.

Les deux droites isotropes passant ainsi par un point A forment, dans leur ensemble, un cercle de rayon mû qui jouit de toutes les

propriétés du cercle. Voici celles de ces propriétés sur lesquelles je m'appuierai principalement :

« Si une droilc menée par un point E du plan coupe, an\ points m et m', les deux droites isotropes issues d'un point A, le produit des segments Bm et Bni' est égal au carré de la longueur BA.

» Les choses étant posées comme précédemment, la perpendiculaire abaissée du point A sur la droite Bmm' a pour pied le point milieu du segment mm'. »

Le cercle ainsi formé par les deux droites isotropes passant par un point A ne contient évidemment d'autre point réel que le point A, si ce point est réel. Examinons ce qui se passe lorsque le point A est imaginaire.

On peut d'abord remarquer que toute droite imaginaire du plan contient un point réel. En effet, son équation, en mettant en évidence la partie réelle et la partie imaginaire, peut se mettre sous la forme

D'où l'on voit que le point réel, qui est l'intersection des deux droites réelles P = o et Q ^^ o, se trouve sur la droite proposée. Toute droite imaginaire contient donc toujours un point réel, qui peut être à l'infini, lorsque les droites P = o et Q = o sont parallèles; dans ce cas, la droite imaginaire passe par un point réel de la droite de l'infini, ou, autrement dit, a une direction réelle. Tl est d'ailleurs évident qu'une droite imaginaire ne petit contenir qu'un seul point réel.

Je dirai que deux points sont imaginairemenl conjugués lorsque leurs coordonnées sont respectivement des quantités imaginairement conjuguées; que deux droites sont imaginairemenl conjuguées lorsque l'on peut passer de l'équation de l'une à l'équation de l'autre en changeant -+- i et — i, ei réciproquement.

De cette définition, il résulte immédiatement que :

i" Si un point se trouve sur une droite imaginaire D, le point qui lui est imaginairement conjugué se trouve sur la droite imagînairement conjuguée à D ;

2" Deux droites imaginairement conjuguées se coupent en un point réel;

3" Deux points imaginairement conjugués sont toujours situés sur une même droite réelle, et cette droite est évidemment la seule droite réelle qu'on puisse faire passer par cbaciin des deux points.

Cela posé, si, par un point A, on mène une droite isotropedu premier système, cette droite contient un point réel a, qui sera d'ailleurs à distance finie, puisque ta droite isotrope a une direction imaginaire et coupe la droite de l'infini à l'ombilic 1; de même la droite isotrope du second système, passant par le point A, contient un point réel a', silué également à distance finie.

On voit que le point A détermine complètement les deux points a et a'; réciproquement, ces deux derniers points déterminent sans ambiguïté le point A, car ce dernier point est l'intersection de la droite isotrope du premier système passant par a avec la droite isotrope du second système passant par a.

Nous pourrons donc fixer sans ambiguïté la position d'un point imaginaire dans le plan, par la position des deux points réels a et a', ou, si l'on veut, par la position du segment aa' ; nous dirons que aa' est \e segment re/>résentaii/ àa point imaginaire A, que« est l'origine de ce segment, et que a' en est rextrémilé.

li est très important d'établir que ce segment représentatif d'un point est toujours le même, quels que soient les axes du plan auxquels on l'ait rapporté.

Soient, à cet effet, a et p les coordonnées imaginaires d'un pomt A, et, en mettant en évidence la partie réelle et la partie

La droite isotrope du premier système passant par ce point a po

les coordonnées «o et b^ du poli:

évidemment

Changeons maintenant de système d'axes rectangulaires, en transportant leur origine au point (^, r,) et, en les faisant tourner de

l'angle w, les formiiles de iransformalîon à employer seronl suivantes :

Les nouvelles coordonnt^es du point A seront, dans ce noaveati système,

et

Les coordonnées du point tcel sitaé sur la droite isotrope du premier système passant j>ar ce point seront, d'après les formules

précédentes,

è'u = 7) -H «(isinii) -1- 6dC0S(o.

L'on voit que a'^ et V^ se déduisent de «o et de ôopiT les formules de iransformation données ci-dessus; la proposition est donc démontrée.

4. Cette proposition justifie l'emploi du segment aa' pour représenter le point imaginaire A, La position de ce segment ne dépend que de la position du point imaginaire lui-même, et nullement du choix des axes coordonnés, que nous n'aurons plus dès lors à considérer que pour éclaircir et établir avec plus de sûreté quelques formules fondamentalçs.

Je désignerai, dans tout ce qui suit, un point imaginaire par une simple lettre, ou, lorsque l'on voudra mettre en évidence les éléments réels qui le déterminent, par son segment représentatif; en sorte qu'un point imaginaire A, ayant pour segment représentatif ««', sera représenté par la notation («, «').

Aux considérations qui précèdent, j'ajouterai les réflexions suivantes. Quand un point est réel, les deux extrémités du segment qui le représentent se confondent avec ce point lui-même. Le cas d'un point réel est donc contenu dans le cas général d'un point

Soietu A un point imaginaire, aa' son segment représentatif; si l'on imagine menée para une droite isotrope da second système, cette droite sera imaginairemcnt conjuguée à la droite Aa; de même, si par a' on mène une droile isotrope du premier système, cette droite sera imaginairement conjuguée à la droite A«'.

Les deux droites ainsi obtenues se coupent en un point A' qui est évidemment le point imaginairement conjugué du point A, et qui sera représenté par le segment a' a.

D'où cette proposition : Si {«, a') désigne un point imaginaire, («', a) désigne le point qui lui est imaginairement conjugué.

D'où encore les conséquences suivantes, que je me borne à mentionner à cause de leur simplicité :

1° La droite réelle qui joint deux points imaginairement conjugués est perpendiculaire au segment qui représente à la fois ces deux points et elle passe par le milieu de ce segment;

2" Si un point imaginaire est situé sur une droite réelle D, et si l'on connaît l'origine a de son segment représentatif, il suffira pour obtenir l'exlrémité de ce segment, d'abaisser de l'origine une perpendiculaire sur D et de prolonger cette perpendiculaire d'une longueur égale à elle-même,

5. Dans le cours de ces leçons, lorsque, pour plus de clarté ou pour développer certains points particuliers, j'aurai recours à ia Géométrie analytique, j'emploierai de préférence un système de coordonnées particulier, déjà employé du reste avec succès par divers géomètres, et que je désignerai sous le nom de coordonnées isotropes.

Pour le définir, considérons un point quelconque O du plan, et menons par ce point dans un sens déterminé une droite indéfinie 0(i>, que j'appellerai Vaxe des coordonnées, le sens positif de cet axe étant fixé par ce qui précède.

Par un point quelconque du plan A, menons une droite isotrope du premier système, et soit a le point de rencontre de cette droite avec l'axe; désignons de même par p le point de rencontre de l'ase avec la droite isotrope du second système passant par le point A. Je prendrai pour coordonnées les deux longueurs Oa etOp, qui définissent évidemment la position du point A, el je poserai Oa ^ k el Op = w.

N GÉOMÉTJilE. gS

Les formules relatives aux coordocnées isotropes sont faciles à établir ; je me bornerai aux suivantes, dont je vais me servir tout à l'heure.

Si nous rapportons la figure à des axes rectangulaires, en prenant 0(i> pour axe des x, et la perpendiculaire en O pour axe àesy, et si, déplus, noiisdésig-nons par j^ ely les coordonnées du point A dans ce nouveau système, l'on voit immédiatement qiie l'on a

Soient deux points du plan a et a', et ici je les suppose essentiellement réels; soient respectivement x, y el x\ y' , u, (v et u', w' lears coordonnées dans les deux systèmes. On a les formules connues

y — y = aa' sial,

formules dans lesquelles aa' est essentiellement positif , et où X désigne l'angle qu'il faut faire décrire au segment aa' , en le faisant tourner autour du point a, dans le sens des aiguilles d'une monire ('), jusqu'à ce que la direction positive de celte droite devienne parallèle à la direction positive de l'axe Oa. J'entends ici par direction positive de la droite aa', la direction dans laquelle se mouvrait un point mobile allant du point a au point «', sans passer par l'infini.

Il est clair que, par la définition qui précède, l'angle \ est défini à un multiple près d'une circonférence entière.

Multiplions maintenant la deuxième des relations précédentes par i, ajoutons-la à la première; retranchons-les ensuite l'une de l'autre; on obtiendra les deux équations fondamentales suivantes :

s que j'ai fixé précédei

Des <]eiis équations précédentes découlent les deux qui suivent :

Je ferai remarquer, en terminant, que les formules précédentes subsistent même quand les points a et a! sont imaginaires, mais alors il est très délicat de fixer la valeur précise de l'angle \.

La formule (4) seule peut être employée sans ambiguïté, car elle détermine le carré de la distance des deux points, carré qui a par lui-même une valeur parfaitement déterminée.

6. Evaluation de la distance de deux points imaginaires. — Soient deux points imaginaires A et B, et soient respectivement u, w et u' , w' leurs coordonnées isotropes. Désignons de plas par aa' le segment représentatif du point A, et par hU le segment représentatif du point B; autrement dit, posons A = (a, a') etB = {6, b').

La formule (4) du paragraphe précédent pouvant être employée même pour des points imaginaires, l'on a

ÂB'=.(«~H')(>^-.t.'),

Je remarque maintenant que, pour les deux points A et a,, la coordonnée H a la même valeur; il en est de môme relativement aux deux points B et b; cela résulte évidemment delà définition même des points a et b. Les points «et b étant réels, onpeiil leui' appliquer la formule (i) du n" S, et l'on a

ab étant pris en valeur absolue, et \ désignant l'angle dont il faut faire tourner la direction ab pour l'amener à être parallèle à la direction positive de l'axe.

De même les deux points A et a', ainsi que les deux points B et b' ayant respectivement pour la coordonnée iv la même valeur, l'on a sans ambiguïté

a b' étant pris en valeur absolue, et 0 désignant l'angle dont il

faiil faire tourner la direction a'b' pour l'amen à la direction positive de l'axe.

Des relatioQs précédente-^, on déduit immédî

li est clair que l'angle u. est l'angle donl il faut faire tourner !a direcllon «6, autour du point a et dans le sens dirent, pour l'amener à être parallèle à a! b' .

On a donc la |)roposition fondamentale suivante :

PiioposiTios. ^ Etant donnés deux points imaginaires A =^ («, a') ei B =^ [b, b'), le carré de la distance de ces deux points est une quantité imaginaire dont le module est la racine carrée du produit des longueurs ab et u'b\ ces longueurs étant prises positivement, el dont l'argument est l'angle dont il faut faire tourner la direction ab, autour du point a et dans le sens direct, pour l'amener à être parallèle à a'b'.

Remarque. — La proposition précédente s'applique évidemment au cas oJ^ l'un des deux points donnés est réel, les deux extrémités du segment qu.i le repr^jsentc se coiifondanl alors avec ce point lui-même.

7. Deux points A et B, réels ou imagliiaiies, étant donnés dans un plan, on peut, comme on vient de le voir, déterminer facilement et sans ambiguïté le carré de la distance AB.

Quant à la distance AB elle-même, elle n'est déterminée qu'an signe près; ou, si l'on veut, l'argument de la quantité imaginaire qui exprime sa valeur n'est déterminé qu'à un multiple près deit.

Un segment de droite isolé ne peut, en effet, comporter par lui-même aucun signe; mais, quand il se trouve sur une droite déterminée, réelle on imaginaire, et quand on a préalablement fixé le sens que l'on est convenu de regarder comme positif sur cette droite, le segment a lui-même une valeur bien déterminée.

C'est à la détermination de cette valeur que je consacrerai la

SCB L'EMPLOI DES JMAGINAIRES EN GÉOMÉTRIE (').

Aoiivelles Annales de Mathématique

- Considérations générales iin€iginaires situés s

ï. L'emploi des imaginaires en Géométrie ne donne lieu à aucune difficulté sérieuse. Les notions essenlielSes sur lesquelles il repose sont immédialemenl fournies par la Géométrie analytique, et trouvent en elle leur entière légitimation. Ces noiions puisées dans l'analyse, le rôle de la Géométrie est de les développer et d'en poursuivre les conséquences parles moyens et avec les ressources qui lui sont propres.

Il ya deiis points sur lesquels il semble nécessaire de compléter la théorie. D'une pari, on ne sait pas toujours réa/we/' et effectuer les constructions oi!i entrent des données imaginaires, en sorte que certains problèmes, dont la considération des quantités imaginaires fournit une soluiion 1res simple et presque immédiate, ne sont en quelque sorte résolus que théoriquement, les cooslrnctions auxquelles conduirait le mode de démonstration employé n'étant pas immédiatement réalisables.

D'autre part, lorsque, dans une proposition, certaines parties de la figure deviennent imaginaires, la proposition donne lieu à plusieurs théorèmes relatifs aux éléments réels de la figure. Tout

(' ) Je me propose de développer, dans cette série d'articles, quelques points de la tLéovie des sections coniques que j'ai laissés de cûté dans le Cours que j'ai professé à la salle Gerson. Le lecteur pourra consulter sur ces questions diserses Notes que j'ai publiées dans le Bulletin de la Société philomatkique (1667-1869), et ma Note Sur l'emploi des imaginaires dans la Céomélrie de l'espace insérée dans le journal L'Insiilal (18 mai 1870).

théorème exprime, en effeL, une relalion entre les données, relation que l'on peut représenter par l'cfjiiation

si quekjues-iines des données deviennent imaginaires, l'cqui précédenle peul se mellre sous la forme

équations qui, évidemment, sont l'expression de deux théorèmes relatifs aux éléments réels de ia figure.

Pour résoudre complètement les questions que soulève l'emploi des imaginaires en Géométrie, il faut donc pouvoir, d'une proposition où certains éléments sont imaginaires, dégag-er, par une voie purement géométrique et la considération seule de la figure, les propositions réelles qu'elle comprend dans son énoncé.

On pourrait presque, à certains égards, dire que la Géométrie en est acliiellemenl au même point où serait l'Analyse, si l'on se contentait de montrer que tonte quantité imaginaire peut être mise sous la forme

« + bi.

celte forme.

mploj-er pourlaréduir

2. Considérons, dans un plan réel, une droite Ow que nou: prendrons pour l'axe d'un système de coordonnées isotropes ; con sidérons en même temps un sjslème de coordonnées rectangulaires ajant pour axe des x la droite Ow, l'axe des / étant la perpendiculaire élevée en O à la droite Ou.

Soit K. un point du plan, réel ou iiLiaginaire, el soient

ses coordonnées isotropes.

Ce point sera représenté dans ie plan par un segment représen-

Lalif aa', l'origine a de ce seg'ment étaiil le point rficl situé sur la droite isotrope du premier système qui passe par A.

En coordonnées rectangulaires, l'équation de celte droile est

d'où l'on voit immédiatement que les coordonnées reclungolaires du poil)!, a sont

L'extrémité a' du segment est le point réel situe sur ly droite ison-opc du second système passant par A; cette droile a |iour équa-

s point a' a pour conrdooni'es

d'où cette conclusion :

Étant donné un point A dont les coorJonnées isotropes sont

l'origine de son segment représentatif a pour coordonnées r tangulaires

ordonnées de l'extrémité de ees segments sont

On peut dire, si l'oa veut, que, dans le mode de représentation employé par Cauclij, l'origine du segment représente la quantité £( ^ a + p*, et que l'extrémité représente la quanti lé Y — Sf conjuguée de îa coordonnée tv.

3. Jusqu'ici nous ne nous sommes occupés que de points distribués d'une façon quelconc|He dans le plan. Supposons maintenant que nous considérions des points situés sur une courbe donnée (C),

don) réqiiation en cooi'donnees isotropes soit (0 /(«,«.)=o. ■

Un poinL rée! a, pris arbilraiiemeriL dans le plan, pourra totijours être considéré comme l'origine d'un segment représenlatif d'un point situé sur la courbe.

Soient, en effet, k et p les coovdonoées rectangulaires de ce point; faisons, dans l'équation (i), u = oi-{-pi; cette équation, résolue par rapport à w, nous donnera pour celle variable un certain nombre de valeurs; ce nombre étant, en général, égal au degré de Sa courbe, mais s'abaissnnt lorsque la courbe passe par les ombilics.

Soient Y + Si, y'-[-S'[, ... les différentes valeurs de w qui correspondent ainsi à la valeur donnée de m; il est clair, d"après ce qui précède, que si l'on conslruit les points dont les coordonnées rectangulaires sont respectivement y et — S, y' et — 5', . . . , ces points, que je désignerai par a', a", . . -, pourront être considérés comme les extrémités d'auiant de segments représentatifs de poinls situés sur la courbe, l'origine commune de ces segments étant le point a.

Pour abréger, je dirai que ces points «', fl", ... sont associés au point a; si, d'ailleurs, la courbe est réelle (et ici, comme dans la suiie, j'entends simplement par là une courbe dont l'équation eu coordonnées rectangulaires est réelle), cette courbe ne peut contenir un point sans contenir aussi le point qui lui est imaginairement conjugué : donc, dans ce cas, si a' désigne l'un quelconque des poinls associés à un point donné a, a est aussi l'un des poinls iissociés de a'.

i. Pour étudier complètement une courbe, il importe do rechercher comment sont distribués dans le plan les segments représentatifs des divers poinls situés sur une courbe, ou, en d'autres termes, comment se déplace l'eslrémilé du segment représentatif d'un ])oint de la courbe lorsque son origine se déplace elle-même dans le plan.

Divers géomètres allemands se sont occupés delà façon dont on pouvait représenter les points imaginaires d'une courbe, et ont émis à ce sujet des idées qui ont été reproduites par M. Transon

{ Application, de VA Igèbre directive à la Géomélrie ; Nouvelles Annales de Mathématiques, i8li8).

L'équaLioQ d'une courbe en coordonnées veclangiilaires éumt

el 5, ïi éLanl im des syslèmes de solutions communes de cette équation, on représente, d'après la méthode de Cauehy, les quantités ^ et Ti par deux points a et h. Ces deux points déterminent, en effet, parfaitement le point de la courbe, et le mode de relation qui existe entre eus caractérise très bien celte coufbe.

Mais on peut faire à cette solution les reproches suivants :

i' Un point réel de la courbe est toujours (sî l'on excepte les points qui se trouvent sur l'axe des x) représenté par un couple de points séparés ;

a" Le mode de représentation varie suivant le système d'axes que l'on a choisi.

Ce dernier inconvénient suffirait seul à faire rejeter en Géométrie ce mode de représentatiou ; comme l'a très bien dit M. Transon, l'équation proposée ne représente plus, à vrai dire, une courbe comme dans le système de Descartes, mais un mode de transformation dont les propriétés se rattachent à celles de la courbe.

L'emploi du segment représentatif, défini comme je l'ai dit plus haut, remédie à tous ces inconvénients. En employant l'équation en coordonnées isotropes de la courbe et en représentant chaque couple de solutions (z(, w) de cette équatiom par les points réels du pian, qui, dans la méthode de Cauchy, représentent la quantité u et la quantité imaginaire conjuguée à (v, on voit :

i" Qu'un point réel de la courbe est représenté par ce point lui-même;

a" Qu'un point imaginaire est toujours représenté parle même segment, quels que soient les axes auxquels on ait rapporté la figure.

En réalité, ces axes ne jouent aucun rôle dans la question; l'étude de ia distribution dans le plan des segments représentatifs des points d'une courbe est une élude de pure géométrie ; et si, dans un grand nombre de questions, on peut avoir intérêt à se servir de l'analyse et à faire intervenir des axes coordonnés, les

V OéOMéTBIE. 11)3

résiillats sonl toujours indépendanls du choix de ces axes, ei leur emploi est par là même facilité.

Pour éclaircir ce qui précède, je mentionnerai ici immédiaiemenl quelques proposilions très simples et que l'on peut facilement démontrei- par les considérations de la Géométrie les plus élémentaires. J'aurai lieu plus tard d'en développer les conséquences.

i" Etant donné un cercle réel, pour qn'un segment oa' représente un point situé sur ce cercle, il faut et il suffit que les points a et a soient réciproques par rapport à ce cercle;

a" Etant donnée une ellipse réelle, pour qu'un segment aa! représente un point situé sur cette ellipse, il faut et il suffit que les deux points a et a' soient situés sur une hjjierboieliomofûcale à l'ellipse, et que la droite «a' soit parallèle à l'une des normales que l'on peut mener à l'ellipse aux points on elle est coupée par l'hyperbole.

Ces notions peuvent être encore présentées d'une façon plus nette et plus précise; mais comme leur développement m'éloignerait un peu du sujet que je traite ici, je renverrai le lecteur à ma Note Sar l'emploi des imaginaires dans la Géométrie de l 'espace.

5. Lorsqu'un point est assujetti à demeurer sur une courbe donnée (C), on peut fixer sa position simplement par celle de l'origine de son segment représentatif.

Cette origine correspond, il est vrai, à plusieurs points de la courbe; en la désignant par a et en désignant par a', a", ... les divers points associés à rt, on voit en effet que {a, «'), (a, a"), ... désignent tous des points de la courbe, représentés par des segments ayant pour origine le point a.

Lors donc que l'on se donne le point a, on ne détermine pas complètement le point de la courbe qu'il représente. Cette indétermination peut être, copnme on le sait, levée de plusieurs façons.

Considérons, avec Cauchy, un des points associés au point a, et soitd' ce point, en sorte que {a, a') désigne un des points de la courbe; si l'on admet que le point a se déplace en décrivant une courbe continue sans jamais passer par aucun des points auxquels correspondent deux points associés confondus en un même point,

restrémilé du segmenl, dont l'origine sera le point mobile, setu elJe-mêiiie bien déiermiiiée sans ambiguïté, si l'on admet que le point de la courbe s'est déplacé lui-même d'une façon continue.

Ces points critiques qui, dans la théorie de Caucliy, jouent un rôle fondamental, sont, il est facile de le voir, les points singuliers el les/oyers de la collr^e.

SI l'on suppose que le jioinl a, représenlalîf du point variable de la courbe, se meut dans un contour ne comprenant aucun des foyers ni des points singuliers de la courbe, le point de la courbe qu'il représente est parfaitement déterminé. Dans le cas contraire, pour savoir quel point il représente, il faut connaître le chemin qu'il a suivi dans son déplacement depuis sa position initiale.

On peut encore lever l'iodélermination en supposant, avec Riemann, que le plan se compose d'une série de feuillets superposés. Ainsi, un point quelconque d'une ellipse peut être représenté par un point qui se meut sur deux feuillets appliqués sur le plan de l'ellipse et soudés entre eux le long de !a ligne qui joint les deux fovers de la courbe.

Au point de vue géométrique, la conception de liiemann semble préférable à celle de Cauchy; mais, pour le moment, je ne m'étendrai pas davantage sur ce sujet, qui ne piésente d'intérêt que dans tes applications du calcul intégral à la Géométrie.

6. D'après ce qui précède, on voit qu'un point (réel ou imaginaire) situé sur une courbe donnée peut être représenté par un seul point réel de son plan; ce point est !e point réel situé sur la droite isotrope du premier sjslèjne qui passe par le point donné. Quand le point donné e^it réel, le point qui le représente se confond avec lui.

Nous pourroiis nous représenter le déplacement d'un point sur une courbe, que les positions successives de ce point soient réelles ou imaginaires, par la courbe que irace dans le plan son point repréientatif, déterminé comme je viens de le dire.

En général, ou peut se représenter la façon dont varie une quantité a en fixant la valeur de cette quantité d'après la position qu'occupe un point mobile sur une courbe arbitrairement choisie du reste.

Lorsque ia variable s prend des valeurs imaginaires, la position

du point mobile, qui détermine sa valeur, peut être, comme je l'a dit, représentée par un point réel du plan, al la courbe déciili par ce point donne une idée très nette de la façon dont varie ;.

Ces considérations se prêtent aisément à l'application du caicu intégral à la Géométrie.

Concevons en effet une courbe algébrique (C) et une inlégi'ul dans laquelle la variable soit représentée par la position d'iii point mobile sur celte courbe ; supposons, par exemple, que l'élé ment de l'inléffrale soit de la forme

ds désignant un élément de la courLe et P une fonction dont b: valeur ne dépend que de la position du point sur la courbe et nullement des axes auxquels on peut la rapporter.

On comprendra facilcnienl que, pour étudier cette intégrale, il soit avantageux de considérer la variable comme représentée par la position d"un point mobile sur la courbe, au lieu de la représenter par la position d'un point mobile sur un axe auxiliaire que l'on introduit arjjitrairement et sans qu'il joue un rôle quelconque

Les intégrales géométriç^ues dont je viens de parleront, un sens parfaitement net, Indépendamment des axes auxiliaires que l'on peut employer pour la l'acililé des calculs; il est donc essentiel di: pouvoir les traiter d'une façon purement géomélrique, oa du moins, si l'on est oblîj^é, dans Temploi de l'analyse, à se servir d'axes coordonnés, d'employer un système de coordonnées qui laisse en évidence ce caractère géomélrique des intégrales. C'est à quoi l'on parviendra par l'emploi des coordonnées isotropes.

Il résulte, du reste, des beaux travaux de Riemano et de M. Clebscli, que ces intégrales géométriques comprennent toutes les intégrales d'origine algébrique.

Les considérations qui précèdent sont, au fond, le développement des idées de Cauchy. L'illustre géomètre fixe îa valeur de la variable par la position d'un point sur une ligne droite; lorsque ce point est imaginaire, il le représente comme nous par le point réel situé sur la droite isotrope du premier système que l'on peut mener par le point donné.

A chaque courbe, comme l'a montré M. Clebscb, se rattachent

un certain nombre d'intégrales qni joueni un rôle des plus importants dans la théorie de celte courbe ; il semble donc naturel, pour étudier ces intégrales, de fixer la valeur de la variable par la position d'un point mobile sur cette courbe elle-même.

II. — Représentation des points situés sur une droite donnée.

7, Considérons une droite réelle ou imaginaire tracée dans un plan. Supposons-la rapportée à nn système de coordonnées isotropes, et soit Oti> l'axe des coordonnées. Soit A un point mobile de la droite dont tes coordonnées soient

comme je l'ai montré ci-dessus, les coordonnées de l'origine a et de l'exlrémité a' du segment représentatif de Aseront respectivement

Soit a" le point symétrique du point a' par rapport à 1 es coordonnées seront

en sorte que, si nous adoptons pour un instant le langage de l'Algèbre directive, les longueurs Oa et Oa" représenteront les deux coordonnées u et «■.

Ces coordonnées sont liées entre elles par une relation linéaire que l'on peut mettre sous la l'orme suivante :

/■ et 9 étant des quantités réelles et m une quantité imaginaire. Le vecteur Oa" peut donc se déduire de Oa au moyen des trois opérations suivantes :

1° En multipliant le vecteur Ofl par la quantité réelle /■; celte opération a pour but de dilater Ions les vecteurs dans un rapport constant, en sorte qu'après l'opération la figure formée par les points a" est homotliétique à celle formée par les points a;

2° En multipliant le résultai obtenu par e"'; l'opération a pour résultat de faire toiirnerla figure précédemment obtenue autour du fiointO de l'angle 8;

3" En ajoutant au deuxième résultat obtenu la quantité m; le résultai de l'opération est de transporter la figure parallèlement à elle-même.

D'où cette conclusion :

La figure formée par les points a et la figure formée par les points a" sont deux figures directement semblables.

Remarquons maintenant que la figure formée parles points «' est symétrique par rapport à l'axe Ow de la figure formée par les

D'où cette conclusion :

Si un nombre quelconque de segments représente des points situés sur une même ligne droite, le polygone formé par les origines de ces segments et le polygone formé par leurs extrémités sont deux polygones semblables et inversement placés.

Deux points suffisant pour déterminer une droite, la réciproque de cette proposition est évidemment vraie.

8- Les considérations qui précèdent mènent facilement à la solution de divers problèmes très simples que l'on peut se proposer sur les droites, mais que je développerai avec quelques détails, parce qu'ils me seront utiles par la suite.

Pkoblèmë I. — Une droite étant définie par deux points (o, a') et {b, (/); étant donné un point réel quelconque du plan, si on le considère comme l'origine du segment représentatif d'un point de la droite, trouver son extrémité.

Soit c le point donné; on construira le point c' tel que le triangle a'b'c' soit semblable au triangle abc et inversement placé; le point c' sera le point demandé,

Problîsme II. — Une droite étant définie par deux points (a, a') et (è, 6'), trouver le point réel situé sur celte droite.

Soit X le point cherché; ce point étant réel, le segment qui le

représente est xx : les deux triangles xab et xa'b' doivent donc être semblables et inversement placés.

Construisons le cercle lieu des points dont les distances à « et «' soient dans le rapport de ab k a'b'; construisons le cercle lien des points dont les distances k b et b' soient dans le même rapport. Ces deux cercles se conpent en deiis points réels a;' el;^;"; on choisira celui de ces deux points qui, joint aux points (a, b) et {«', b'), donne deux triangles semblables inversement placés.

PnoBLÉME 111. — One droite étant définie par deux points {a, a') et (b, b'), et une autre droite étant définie par deux autres points (a, a') et ([i, p'), trouver leur point de rencontre.

Déterminons les esti-émîtés des segments qui représentent des points de la deuxième droite et ont pour origine les points a et 6 (problème I); soient a" et 6" CCS extrémités: soit {x,x') le point d'intersection cberché.

Les points {a, a'), {b, b'), {x, x') étant en ligne droite, les triangles abx et a'b'x' sont semblables et inversement placés.

Les points {a, a"), (è, b"), (x, x') étant aussi en ligne droite, les triangles abx et a"b"x' sont aussi semblables et inversement places.

Donc les triangles a'b'x' et a"b"x' sont semblables et seniblablenient placés. On construira les deux cercles liens des points dont les distances à a' et a", et à b' et b" sont dans le rapport de a'b' à a"//. Ces deux cercles se couperont en deux points réels: on choisira de ces deux points celui qui, joint aux points (a', b') et (a", 6"), donne deux triangles semblables et semblablement placés. Ce point sera le point x' ; au mojen dn problème I, on en déduira le point x.

SUR L'EMPLOI DES IMAGINAiriES