DANS LA GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE

BuUelin rfe la Sût

1. On sait, depuis les iravaiix de Poncelet, que tous les cercles traces dans iiii même plan passent pai- deux points fixes imaginaires situés sur la droite de l'infini. Je désignerai par I et J ces deux points remarquables que, dans une Noie publiée dans les Comptes rert</(/s (janvier i 865), j'ai proposé Ae ROmmar ombilics du plan. J'appelle droite isotrope toute droite du plan considéré qui passe par l'un des points I et J; l'ensemble de ces droites forme deux systèmes bien distincts, l'un composé de droites parallèles entre elles et passant par le )ioint 1, l'autre de droites également parallèles et passant par le point J.

Par tout point d'un plan passent deux droites isotropes de systèmes différents, dont l'ensemble forme un cercle de rayon nul. Dans un plan réel, toute droite isotrope renferme un point réel et n'en renferme évideuimenl qu'un; c'est le point où elle coupe la droite isotrope qui lui est iniaginairement conjuguée (').

Si, par un point fixe, réel ou imaginaire, on mène divers plans, chacun de ces plans contient deux droites isotropes passant par le point iixe. Les droites ainsi obtenues sont situées sur un même

('} Je dis que deuï points sont imaginairement conjugués, lorsque leurs coor données, prises par rapport â un système d'axes réels quelconque, sont des qiian titës imaginaires conjuguées. On point réel est à lui-même son conjugue.

Deux courbes sont imagina irement conjuguées, lorsque les équations de clia cune d'elles se déduîaenL des équations de l'autre en cliangeaut le signe du syni

cône du second degré, que l'on peut aussi considérer comme une sphère de rayon nul ayant pour centre le point fixe et qui jouit de toutes les propriétés de la sphère. Ainsi, par exemple, tonte sec- . tion plane de ce cône est un cercle, et le centre du cercle est le pied de la perpendiculaire abaissée du sommet du cône sur le

Je désignerai sous le nom de cône isotrope le cône ainsi formé par toutes les droites isotropes qui passent par un même point. Tous les cônes isotropes coupent le plan de l'infini suivant une même conique, commune à toutes les sphères tracées dans l'espace et que l'on peut appeler Vombilicale.

Par une droite, on peut généralement mener deux plans tangents à l'ombilicale; j'appellerai ces plans plans isotropes. Le couple de plans isotropes, passant par une droite donnée, est coupé par un plan perpendiculaire à cette droite suivant deux droites isotropes. Par une droite isotrope, on ne peut faire passer qu'un seul plan isotrope, puisque ccite droite coupe le plan de l'infini en un point de l'ombilicale.

2. Ces définitions élablies, concevons un point imaginaire de l'espace, a et le point a' qui lui est imaginai rement conjugué. Par chacun de ces points passe un cône isotrope; les deux cônes ainsi obtenus se coupent suivant un cercle réel A, dont le plan est perpendiculaire à la droite réelle qui joint les deux points imaginairement conjugués a et a'; le centre de ce cercle est le point réel O, qui est le milieu du segment aûf et la distance Oa étant représentée par Ri, son rayon a pour valeur la grandeur réelle R.

Il est clair que les deux points imaginaires a et a' déterminent complètement le cercle A; réciproquement, étant donné le cercle réel A, par ce cercle on ne peut faire passer que deux cônes isotropes dont les sommets sont les points a et a. La position de ce cercle dans l'espace détermine donc com.plètement ces deux points.

Je dirai que le cercle réel A, ainsi déterminé, est le cercle représentatif àa couple de points imaginaires a et a', couple que je désignerai parla notation (A); réciproquement, le cercle A, déterminé comme précédemment par les deux points a et a', sera désigné parla notation (a, a').

Le cercle A ou [a, a') représente ainsi l'ensemble des deux

points imaginaires conjugués a et a'; dans cei'taioes questions, il

A cet effel, l'on peut imaginer que le cercle A soit décrit dans un certain sens par un point mobile ; le sens dans lequel il sera supposé décrit déterminera celui des deux points a et a' dont il sera la représentation. Afin de fixer les idées, siipposons que dans un système de coordonnées quelconque, mais d'ailleurs réel, les coordonnées d'un point m soient respectivement

le sens dans lequel on supposera décrit le cercle représentatif du point m sera tel qu'un spectateur, ayant l'œil placé à l'origine des coordonnées, voie le point mobile, décrivant le cercle, se mouvoir dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre ou en sens inverse, suivant que la quantité («a + 6 p -(- cy) est positive ou négative.

Il est évident d'ailleurs que si celle quantité a un signe donné pour le point a, elle aura le signe contraire pour le point imaginairemenl conjugué m' dont les coordonnées sont

3. Dans la plupart des reclicrclics de géométrie, l'on a à considérer, par couples, des points réels ou qui ne sont pas imaginairement conjugués. J'étendrai à ces cas les notions établies précédemment. Ainsi a el b désignant deux points quelconques de l'espace, je désignerai par [a, b) le cercle qui résulte de l'intersection des cônes isotropes ayant pour sommets ces deux points; ce cercle sera généralement imaginaire et ne deviendra réel que dans le cas, examiné précédemment, où les points considérés sont imaginairementconjugués. De niême, G désignant un cercle quelconque de l'espace, je dénoterai par le symbole (G) les deux points qui sont les sommets des cônes isotropes passant par ce cercle.

4. Considérons dans l'espace une courbe géométrique quelconque, réclie ou du moins (pour le moment, je me restreindrai à ce cas de beaucoup le plus intéressant) définie par des équations réelles; c'est-à-dire telle que, lorsqu'elle passe par un point

ijnaginaiœ, cllfi passe cgalemcnt par le point iniaginairemenl conjugué.

Élanl donné un cercle i-éel de l'espace, ce cercle représente un couple de points iitiagînairement conjugués; et, pour que ces points appartiennent à la courbe donnée, il est nécessaire que le cci'cle satisfasse à certaines couditions déterminées par la nature de la courbe et dont l'élude forme, pour ainsi dire, im prolongeiiienl géométrique de la théorie de celte courbe elle-même. Pour éclaircir ces considérations générales et montrer les diverses questions auxquelles elles se rallacbcnt, j'en ferai tout d'abord, et avec quelques détails, l'application aux courbes gauches qui résultent de l'intersection d'une sphère et d'une surface du second ordre, eu ni'appuyanl sur les propriétés connues des surfaces analtagmn tique s.

5. M. Moutard a appelé siu-faciis a nallag manques du quatrième ordre des surfaces qui peuvent être regardées comme l'enveloppe de sphères mobiles qui coupent orthogonalemenl une sphère fixe, tandis que leurs centres décrivent une surface du second degré; dans tout ce qui suit, je les désignerai simplement sous le nom de surfaces anallagmatiques; leur degré, qui est, en général, le quatrième, peut d'ailleurs s'abaisser au troisième, lorsque la surface lien des centres des sphères mobiles est un paraboloïde, et même au second, puisque les surfaces du second degré sont comprises dans la famille des surfaces anallagmatiques.

La définition donnée ci-dessus peut être légèrement modifiée de la façon suivante. Etant donnés une sphère fixe S et un plan (|iielconque P coupant celle sphère suivant un cercle C, on peut, par ce cercle, faire passer deux cônes isotropes. Soient^ et jO' les sommets de ces cônes; ces deux points, qui, d'après ce que j'ai dit ci-dessus, pourraient être représentés parla notation (C), sont réciproques par rapport à la sphère S; pour abréger le discours, y: dirai que ces deux points sont associés au plan P et réciproqueiucnt que le plan P est le plan associé aux points p elp' {^).

Cela posé, on peut définir une surface anallagmatiqoe donnée K,

( ') \iiir lliilleliii de lu Scciéle /./tiluoiiil/in/in' ( iiiai> iSliS), iii;l K^.le sui' les

comme le lien des points associés, par rapport à une splière fixe S, des différents plans c^ae l'on peut mener tangenliellement à une surface du second degré A. L'intersection des surfaces S et A est une biquadratique F qui est l'une des cinq focales de la surface; les quatre autres focales correspondant aux quatre autres modes de génération dont Ja surface est suscepùble ('). En chaque point m de la surface anailagmatique, la normale passe par le point où le plan associé au point m louche la surface A.

Soit G une génératrice rectiligne de cette dernière surface, et soient a, a' les points où cette génératrice s'appuie sur la focale F. L'on voit facilement que, tandis que le plan mobile qui sert à décrire la surface se déplace le long de la droite G en tournant autour de cette droite, les points associés au plan tangent dans ses diverses positions décrivent un cercle; et ce cercle est précisément l'intersection des deux cônes isotropes ayant pour sommets les points a et a', cercle que nous pouvons désigner par la notalion («, a'). A chaque génératrice rectiligne de A correspond donc une génératrice circulaire de R; et, comme chacun des plans tangents à la surface A passe par une génératrice rectiligne de même système que G, l'on voit que la surface anallagmalique peut être considérée comme engendrée par les différents cercles correspondant aux génératrices du même système que G. Aux génératrices rectilignes de A, du système différent de celui de G, correspond un autre système de sections circulaires de R ; les deux systèmes ainsi ■obtenus forment un groupe de cercles que, pour plus de clarté, je dirai appartenir au mode de génération défini par la focale F, ou simplement à la focale F. A chacun des quatre autres modes de génération de la surface correspond un outre groupe de cercles situés sur la surface et appartenant à la focale définissant le mode ■de génération considéré. L'on peut donc définir, de la façon suivante, les surfaces anallagmatiques au moyen deleurs sections cir- ■culaires.

Étant donnée une biquadratique sphérique F, si l'on faitpasser par cette courbe une surface du second degré quelconque et si, pour chaque génératrice rectiligne d'un système donné de cette

(') Voir dans le Bulletin de la Société philomathique (janyiei Hait sur quelques propriétés des surfaces anallagmatiques.

surface, on constiuit le cercle qui résulte Je l'inlcrsecUon des cônes isotropes ayant pour sommets les points où cette généraivice s'appuie sur la courbe, le lieu des cet-cies ainsi obtenus est une surface anallagmatiqne ayant F pour focale; et le système formé par ces cercles appartient à cette focale.

6, Dans ce qui précède, je n'ai fait aucune hjpothèse sur la nature de la surface A, non plus que sur sa position relative par rapport à la spbère S. Les génératrices rectilignes de A peuvent être imaginaires, ou bien, étant réelles, elles peuvent traverser la sphère et la couper en deux points réels. Dans ces deux cas les sections circulaires correspondantes de l'anallagmatique sont imaginaires. Pour qu'un cercle C, correspondant à une génératrice reclilîgne, soit réel, il faut et il suffit évidemment que celte génératrice soit réelle et extérieure à la sphère ; elle coupe alors cette sphère en deux points imaginairement conjugués de la focale F, et le cercle C est ce que j'ai appelé le cercle représentatif de ces deux points.

On peut donc énoncer la proposition suivante : Lorsqu'un système de sections circulaires d'une sur/ace anallàgmaligite, appartenant à une focale F de cette surface, est réel, les points imaginaires représentés par ces cercles sont situés sur la courbe F.

Si l'on imagine toutes les surfaces anallagmatiques qui ont pour focale une biquadraiique sphérique donnée F et toutes les sections circulaires réelles de ces surfaces qui appartiennent à F, on obtiendra ainsi les cercles représentatifs de tous les points imaginaires de la courbe F. En effet, si un cercle C représente un point imaginaire de F, la droite réelle qui joint les points imaginaires (C), détermine avec la courbe F un hyperboloïde à une nappe, et cet bjperboloïde détermine une surface anallagmatique ayant F pour ■focale et passant par le cercle C. D'où la conclusion suivante :

« Pour qu'un cercle réel représente un couple de points imaginaires situés sur une biquadratique sphérique donnée F, il faut et il suffit que ce cercle soit situé sur une surface anallagmatique ayant F pour focale et qu'il appartienne au mode de description caractérisé par celte focale. »

7. La façon dont j'ai déflni, § 5, les surfaces anallagmatiques, au moyen de leurs sections circulaires, s'étend d'elle-même au cas où ces surfaces ont un plan de symétrie; dans ce cas, l'une des sphères principales se réduit à un plan, ainsi t|ue la surface dn second degré correspondante, et les définitions que j'ai données précédemment, la définition comme enveloppes de sphères et la définilion par points, deviennent illusoires. Mais, avant d'aborder ce sujet, il est nécessaire d'exposer quelques considérations très simples sur la transformation des figures par rayons vecteurs réciproques.

Etant donnés un point quelconque a, réel on imaginaire, et le cône isotrope ayant ce point pour sommet, il est clair que, par une transformation quelconque par rayons vecteurs réciproques, ce cône isotrope se transforme en un autre cône isotrope ayant pour sommet le point qui correspond au point a. Si donc Ton a deux points quelconques a et i, au cercle (a, é) correspondra, après la transformation, le cercle (a, p), c. et j3 désignant les points qui correspondent aux points a et b.

imaginons une surface anallagmatiquc comme le lieu des différenls cercles (g, «'), (6, fc'), (c, c'), . . . déterminés par les points où les génératrices d'une surface du second ordre ««', 66', ce' , . . . s'appuient sur un biquadratique sphérique F et effectuons sur celle figure une transformalion par rayons vecteurs réciproques, La courbe F se transformera en une autre biquadra tique spbérique *; sur cette couibe 4>, aux points a, a', b, b' , ... coriespondi'ont des points (a, a'), (fl, p' ),..., et la surface transformée

de la surface donnée sera le lieu des cercles {a, a'), (6, b')

D'où l'on peut, en passant, tirer cette conséquence, que les droites aa', ^p', -^ , . . . sont, comme les droites ««', bb', ce', . .., les génératrices d'une même surface du second ordre.

Considérons maintenant une biquadralique sphérique F et une surface du second degré quelconque A, passant par cette courbe. Toutes les génératrices d'un même système de A, telles que ««', peuvent être obtenues en choisissant arbitrairement une génératrice ss' de l'autre système et en menant des plans par cette dernière génératrice. Ces divers plans couperont la sphère suivant des cercles passant par les deux points fixes s et s' et chacun de ces cercles coupera la courbe F en deu\ points variables a et a'

situés sur une même génératrice de A; le lieu des cercles (a, a') est l'anaîlagmalique définie par la surface A et la focale F; on peut donc énoncer la proposition suivante :

Si, par deux points fixes s et s', d'une hiquadratique sphérique F, on mène un cercle variable rencontrant la courbe F aux deux points a et «', le lieu des cercles (a, a') est une surjace anallagmatique ayant F pour focale.

Transformons maintenant la figure précédente en prenant le pôle de transformation sur la sphère qui contient la courbe F; la surface anallagmatique donnée se transforme en une surface anallagmatiqne ayant pour plan de symétrie le plan qui correspond à la sphère. La focale F se transforme en une anallagmatique plane * sur laquelle se trouvent les deux points 17 et <s' correspondant aux points s et s' ; et l'on obtient la proposition suivante :

Si, par deux points fixes a et a' d'une anallagmatique plane *, on même un cercle variable coupant la courbe 4" aux points a et a', le lieu des cercles (a, a!) est une surface anallagmatique ayant pour plan de symétrie le plan de la focale $.

Le second système de sections circulaires appartenant à la focale "l» s'obtiendrait facilement; en effet, étant mené par a- et par T* un cercle quelconque coupant la focale en deux points cl et c('; si, par ces deux derniers points, on mène un cercle variable rencontrant <ï> aux points p et p', les différents cercles tels que (a, p') constitueront ce second système de sections circulaires.

Les plans des différents cercles tels que (a, a') ont pour trace, sur le plan de la focale $, les perpendiculaires élevées sur les segments aa' en leur point milieu. Toutes ces perpendiculaires, il est facile de le voir, enveloppent une conique ayant pour foyers les foyers singuliers de l'anallagmatique 4> ('). D'où l'on peut conclure que quand une série de surfaces anallagmaliques a pour focale commune une anallagmatique plane, les traces des cylindres enveloppés par les plans des cercles de ces surfaces apparte-

(') Voir dans les Comptes rendus (janvier i863) ma Note intitulée : Théo-

nanL à celle focale, sur le plan de symétrie, soal des coniques homofocales avant pour foyers communs les foyers singuliers de la focale.

8. La proposition précédente n'est, du reste, qu'un cas particulier d'un liiéorème relatif aux anallagmaliques en général et que l'on peut élablir très simplement.

Considérons une surface anailagmatique quelconc|ue R, ayant pour focale une biquadratiqoe sphérique F. Les plans des divers cercles de la surface, appartenant à cette focale, enveloppent un cône ayant pour sommet le centre de la sphère S, sur laquelle est située la focale; et ces plans sont perpendiculaires aux diverses génératrices de la surface du second degré A passant par la focale qui détermine la surface R. Pour trouver les droites focales de ce cône, je rappellerai que ces droites sont les intersections des divers plans isotropes qu'on peut lui mener langenliellemenl. Or, les perpendiculaires à un plan isotrope, toitchant l'ombilicale en un point donné w, sont les diverses droites isotropes passant par ce point; aux plans isotropes tangents au cône correspondent donc des génératrices isotropes de A, ,et réciproquement. Une génératrice isotrope de A doit percer le plan de l'infini en un point de l'ombilicale, et aussi en un point de la trace de la surface A sur le n»éme plan. Soit Q l'ombilicale et a, b, C, d les quatre points où cette courbe rencontre la focale F; la surface A, passant par cette focale, sa courbe d'intersection avec le plan de l'infini est une conique passant par les points a, 6, C, d, et il est clair que les génératrices isotropes de A sont les huit génératrices passant par ces quatre points. Les traces, sur le plan de l'infini, des quatre plans qui leur sont perpendiculaires et qui passent par le centre de la sphère sont les quatre droites menées tangentielleoient à l'ombilicaie par les quatre points a, b, c, d; les focales du cône sont donc les six droites conjuguées deux à deux qui joignent le centre de la sphère aux divers points d'intersection p, q^ r, s, t, u des quatre tangentes. On voit que ces focales sonicomplètement déterminées par la focale F et ne dépendent en aucune façon de la surface particulière A, On peut donc énoncer celle proposition :

Si l'on considère une série de surfaces anallagmatiqaes homofocales, et si, pour chacune de ces surfaces, l'on con-

stniit le cane enveloppé des cercles appartenant à l'une de ses focales, tous les cônes ainsi obtenus sont honiofocaux.

J'ajoiiierai que les focales de ces cônes sont les focales singulières des cônes ajanl pour base la focale de la surface anallagitiatlqiie considérée, ei., pour sommet, le centre de la sphère sur laquelle celte courbe est située. Mais, pour abréger, je laisse de cÔLé la démonstration de ce point de détail (').

9. Je reviens raainlenant au mode de description des surfaces anallagmaliques à plan de symétrie, donné, § 7, pour montrer comment il s'applique aux surfaces du second ordre. Ces dernières s'obliennent lorsque la focale, qui, en général, est une courbe anallagmatique plane, se réduit à une conique. Soit donc une conique quelconque C réelle (ou du moins ayant une équation réelle) et a, a' deux points fixes pris sur cette conique. Par ces deux points, menons un cercle quelconque coupant la conique en a et en a'; d'après ce qui a été dit ci-dessus, le lieu des cercles tels que (a, a') est une surface du second ordre ayant pour focale C. D'après un théorème élémentaire bien connu, toutes les droites telles que cloJ ont une direction fixe. On peut donc énoncer la proposition suivante qu'il serait très simple, d'ailleurs, d'établir

Si l'on mène, dans le plan d'une conique, une série de droites parallèles à une direction fixe D, en désignant par a et a' les deux points d'' intersection de la conique avec une quelconque de ces droites, le lieu des cercles, tels que (a, a'), est une surface du second ordre ayant pour focale la conique donnée.

Supposons que C soit une ellipse; imaginons toutes les droites réelles parallèles à une droite fixe D et extérieures à l'ellipse; chacune de ces droites rencontre l'ellipse en deux points imaginairement conjugués, représentés par un cercle réel; tous les

(I) Voir, dans 1b Bulletin de la Société philomatkique, ma Communica du a3 mars i»67 : Sur les courbes résultant de l'intersection d'une sphér d'une surface du second degré, % 4.

cercles réels ainsi obtenus, quand la droite se déplace, constituent l'un des systèmes de sections circulaires d'un lijperboloïde à deux nappes ayant pour focale l'ellipse donnée. Si le système des di'oites considéré était parallèle à une droite D' faisant avec !e grand asc de t'ellipse un angle supplémentaire de l'angle que fait D avec ce même axe, les cercles représentatifs des points d'intersection de l'ellipse avec ces diverses droites constitueraient le second système de sections circulaires de l'iiyperboloïde mentionné ci-dessus.

Si nous imaginons l'inlinité d'hyperboloïdes à deux nappes, qui ont pour focale l'ellipse C, leurs diverses sections circulaires représenleront tous les points imaginaires situés sur cette ellipse. D'où l'on peut conclure le théorème suivant :

Pour qu'un cercle réel, donné dans l'espace, représente un couple de points imaginairement conjugués, situés sur une ellipse donnée, il faut et il suffit que ce cercle soit une section circulaire d'un hyperboloïde. à deux nappes ayant cette ellipse pour focale.

De même :

Pour qu'un cercle réel, donné dans Vespace, représente un couple de points imaginairement conjugués, situés sur une hyperbole donnée, il faut et il suffit que ce cercle soit unesection circulaire d'un ellipsoïde ayant cette hyperbole pour focale.

10. Il existe, relativement au système de deox cercles situés sur une même sphère, une propriété très simple, qui a de fréquentes applications dans la géométrie de la sphère et dans la théorie des surfaces anallagmatiques. Je vais l'exposer brièvement, en supprimant la démonstration, d'ailleurs très facile à suppléer.

Soient deux cercles C elD situés sur une même sphère, et par conséquent se coupant en deux points. Le cercle C représente deux points de l'espace C el c', qui sont réciproques par rapport à la sphère et que l'on pourrait désigner par la notation (C); le cercle D représente de même deux points réciproques d et >/. Les quatre points C, c', d et d' sont d'ailleurs dans un même plan passant par le centre de la sphère. Cela posé, par les deux cercles donnés, on

jjeiit faire passer deux cônes, et les sommeLs de ces cônes sont les deux points de rencontre respectifs des droites cd et </d' et des droiies cd' et c'd.

Supposons les cercles C et D réels; snpposons-Ies, en oiilrc, décrits dans nn sens déterminé, en sorte que chacun d'eux représente un point imaginaire et un seul; le point c, par exemple, étant représenté par le cercle C et le point d par le cercle D, La droite imaginaire crfest iinag^inalrement conjuguée à la droite c' d! ; ces deux droites étant dans le même plan se coupent en un point réel, que l'on peut définir comme étant le point réel silué sur cd\ et, d'après ce que j'ai dit plus haut, ce point est le sommet d'un cône passant par C et D, Mais ici, l'on peut ajouter qu'un spectateur, dont l'œil serait placé au sommet du cône, verrait les cercles C et D décrits en sens inverse; en sorte que si le mobile, qui est censé décrire l'un d'eux, lui paraît se mouvoir dans le sens des aiguilles d'une montre, le mobile qui est supposé décrire l'autre lui paraîtra se mouvoir dans l'autre sens.

Celte dernière remarque est souvent utile pour fixer le sens que l'on doit effectuer à un cercle représentant un poiot imaginaire.

Considérons maintenant une surface anallagmalique R, définie par la surface du second degré A et la focale F située sur cette surface, et les deux systèmes de génératrices circulaires de l'anallagmatique appartenant à cette focale. Soit C un cercle fixe de l'un de ces systèmes, représentant deux points c et c' de la focale; soit D un cercle quelconque de l'autre sj^stème, représentant deux points d et d' de la focale. Les cercles C et D sont situés sur une même sphère, et l'on sait d'ailleurs que les droites ce' el dd' sont deux génératrices, de systèmes différents, de la surface A. D'après ce qui a été dit plus haut, les sommets des cônes qui passent par les cercles C etD sont les deux points ;■ et s, où se coupent respectivement les droites cd' et c' d d'une part, les droites crfet c'd' d'autre part. Le lieu décrit par les sommets de ces cônes, lorsque, le cercle C étant fixe, le cercle D se déplace sur la surface R, est donc l'intersection des deiix cônes ayant pour base la focale F et pour sommets les points c et c'. Ces cônes sont du troisième degré ; leur intersection, qui est du neuvième degré, se compose d'abord il(: la génératrice ce' y do la focale et du lieu cherché; ce dernier est donc du quatrième ordre.

s LA GiOMÉiniE DAÎiS l'iîSPACE. lîl

D'où l'on peut conclure la proposition suivante :

Étant pris, sur une sur/ace anailagmalique, un cercle quelconque appartenant à une focale F de cette surface; par ce cercle et par un cercle quelconque D, du second système circulaire appartenant à cette focale, on peut faire passer deux cônes; le lieu décrit par le sommet de ces cènes, lorsque, le cercle C étant fixe, le cercle D se déplace sur la surface, est une courbe du quatrième ordre faisant partie de l'intersection des deux cônes, ayant pour base commune la focale F et pour sommets les deux points de cette focale que représente le cercle C,

il. Dans ce qui précède, j'ai montré comment l'on peut détei-miner les conditions géométriques auxquelles un cercle doit satisfaire, pour représenter un couple de points situés sur une biqiiadraliqiie sphérique donnée, en groupant deux à deux les divers points de cette courbe, de Taçon qu'à l'ensemble de tous les couples de points, corresponde l'ensemble des génératrices circulaires d'une surface anailagmalique. Chaque mode de groupement est défini par nns surface du second ordre, de telle sorte que deux points quelconques de la courbe, qui se correspondent, se trouvent sur une même génératrice de la surface.

Soit, en général, une courbe gauclie géométrique quelconque G; imaginons une surface réglée V, telle que chacune de ses génératrices s'appuie en deux points sur cette courbe. Soient aa', bb' , ce', ... les génératrices consécutives de cette surface; les cercles (a, a'), (6, 6'), (c, c'), . . . engendreront une autre surface, que je dirai dérivée de la courbe G. D'une même courbe donnée, l'on peut ainsi déduire une infinité de surfaces à génératrices circulaires, et chacune de ces surfaces dérivées correspond à un certain mode de groupement des points de la courbe, défini par la surface réglée V.

Lorsque la courbe G est plane, les droites, telles que aa', bb', , . , , qui joignent les points conjugués de cette courbe, ne forment plus une surface gauche, mais enveloppent une courbe plane, qui peut ainsi servir à définir le groupement des points. Dans ce cas, et lorsque la courbe G est d'un degré supérieur à deux, chacune des tangentes à l'enveloppe plane, rencontrant G

en plus de deux points, i! est nécessaire de lixer cens des points de renconlre qne l'on doit gronper ensemble. Pour éviter celle difficulté, il est alors généralement préférable de définir chaque conpie de points par d'autres considérations ne donnant lieu à aucune ambiguïté, comme je l'ai fait, § 7, en traitant des surfaces anallagniaciques à plan de sjméirie.

On peut toujours, d'ailleurs, sanf dans le cas très particulie îa courbe plane G est un cercle, effectuer une transformation pai rayons vecteurs réciproques, de façon que cette courbe devienne une courbe gaucbe spbérique.

12. D'une courbe gauche donnée, on peut, comme montré, déduire une infinité de surfaces à génératrices circi dérivées de cette courbe.

Réciproquement, étant donnée une surface quelconque i ratrices circulaires, on peut toujours la considérer comi surface dérivée d'une certaine courbe gauche G. En dé: par G, G', C", ... les diverses génératrices circulaires de face, cette courbe est le lieu des points (G), (G'), (G"), . la surface réglée V, qui détermine le mode de groupemi points de la courbe, est le lieu des axes des différents cercl

J3. Parmi l'infinité de surfaces dérivées d'une courbe gauche G, se trouve en particulier la développable isotrope, circonscrite à cette courbe; j'entends par là, la surface développable circonscriie à la fois à l'ombilicale et à la courbe donnée. Tous les points qui lui sont tangents sont, par conséquent, des plans i.sotropes, et ses génératrices, comme nous allons le voir, sont des droites isotropes.

Soil m un point quelconque de G; pour construire les génératrices de la surface développable isotrope qui passent en ce point, menons la tangente à la courbe en m, et soit t le point où cette tangente perce le plan de l'infini. Menons par t les deux tangentes à l'ombilicale Si et soient a et 6 leurs points de contact. Les plans tma et tmb sont deux pians isotropes tangents à la courbe G et les génératrices correspondantes de la développable sont les droites isotropes ma et mb. Remarquons maintenant que, la droite ab étant la polaire du point ( par rapport à l'ombilicale, le

s LA GÉOMÉTRIE BANS L'ESPACE. 123

plan mba est perpendiculaire à la tangente mt) les génératrices de la développable, (jiii passent an point m, sont donc les deux droites isotropes passant par ce point dans le plan normal à la courbe.

J'imagine maintenant une droite passant par le point m et par le point m', pris sirr la courbe G, à une dislance infiniment petite de m. Les cônes isotropes ayant ces deux points pour sommets se coupent suivant un cercle, dont le plan, perpendiculaire a mm' , passe par le milieu de ce segment, et dont le rayon, égal à mm', est par conséquent infiniment petit. Le point m' venant à se confondre avec le point m, le pian du cercle d'intersection devient normal à la conrbe an point m. le rajon de ce cercle devient nul et ce cercle se réduit à deiis droites isotropes. Donc, quand «ne droite est tangente à une courbe gauche, le cercle, correspondant aux deux points de la courbe, qui sonlréunîs au point de contact, se compose des deux droites isotropes qui passent parce point dans le plan normal à la courbe.

D'où cette conclusion : la développable isotrope, circonscrite à une courbe gauche, est la surface dérivée de celte courbe, lorsque la surlace réglée, qui fixe le groupement de ses points, est la développable formée par les tangentes à la courbe.

Appliquons ces résullats à la recherche de la focale d'une courbe spliérique quelconque H; l'on sait, d'ailleurs, que cette focale est la ligne double de la développable isotrope circonscrite à H.

En désignant par S la sphère qui contient cette courbe, pour qu'un point donné m soit situé sur une surface S dérivée de H, il est nécessaire et suffisant que le pian, associé au poiut m- par rapport à la sphère S (' ), coupe la courbe H en deux points situés sur une génératrice de la surface réglée v, qui détermine le groupement de points correspondant à la surl'ace S. Si l'on consîdèi'e en parliculier la développable isotrope, qui correspond à la développable ajant H pour arête de rebrousse ment, pour qu'un point m soit situé sur cette développable isotrope, il faui et il suflit que le plan associé au point m soit tangent à la courbe H.

( ' ) Sur l'Èspression plan associé à un point, voir g 5.