Âjai.t

= a>^[n{n + -x)x + %{n-^i)<,^-'ipl on en déduit

Dans le cas où il y a surapproximation, 0„ doit se réduire à une constante; on a donc

et l'équation dlfTérentieUe à laquelle satisfait /„ devient

x'y'-^i^x^-^-ipœ-^ i.q)y— [n(«-l-ïl)a;-l-(2/i-l-3)a„— 3jt)J = o.

Réciproquement, si l'on détei-mine la quantité a„, de telle sorte que l'équalion précédente ait pour solution un polynôme enl!ery„, on peut déterminer les quantités r et s, de telle sorte que le dénominateur de la /îi^™* réduite de z soit /„.

29 Comme dernière applicalion, je considérerai la fonction

J, («•^Sff» + ;■)■"

qui salisfait à l'cquaLÎon différeiuielle

(i'+3fn-;0i'=2|i(i'+s-)j!~(i'H-3j»+S).

On a, dans ce cas, W = a->-i-:i^37-i- /i, V=ii(a:5 + ^) et U =— (x'-^'igx-h h), et l'on peut poser

Siibstituanl ces valeurs dans les relalions (19) et (20), 00 obtient les égalités suivantes, qui doivent être identiquement satisfaites,

(A«:^-hB„)[3.î + («„+,-a„)^-t-(P«+,-^0]

311 l'on

déduit

2fl.-t-'J

(ali)

I s„,6,.,îiL;^ii±l(p„,-p„)(«.m-«.)-^^^

Ces relations permellent de calculer successivement les lues a,-, bi, a,-, P; et par suite Jes quotients incomplets Q;. On a d'ailleurs

et, comme la partie entière du développement de /■ est

tl'où i'on déduira successivement, au moven des formules (26), les valeurs de

«,, a„ ...; 6,, &s, ...; a,, a„ ...; p,, fi,, ....

30. On obtient un autre sjstème de formules qui permet également de calculera,, et b,, et que l'on peut considérer comme un système d'intégrales premières des équations aux différences finies (a6).

Il s'obtient en exprimant que le poljnome

est exactement divisible par

De là résultent les relations suivantes :

II est important de remarquer que l'on a ainsi trois relations pour déterminer a„ et b,,; d'où cette conséquence que, m l'on

X est une racine d'une équation du second degré de la forme

PX^-i-2Q>, + R = o,

où P, Q, R sont des fonctions rationnelles de g, h, a„, p„, ces deux dernières quantités étant elles-mêmes des fonctions rationnelles de g et de h.

L'autre racine de l'équation est évidemment la valeur de -^^ ■

esl le carré d'une (onclion rationnelle de g et de h.

Mais c'est un poini que je me réserve de traiter plus lard en essayant, du moins dans des cas parliculiers, d'intégrer Jes systèmes d'équations aux diO'érences finies (27) et (28).

31. Les formules précédenles permeiienl, pour une valeur donnée de x^ de calculer de la façon la plus simple les valeurs des réduites d'une fonction z qui satisfait à une équation dilTérentielle tlni5aire du second ordre dont les coefficients sont rationnels.

Au point de vue du calcul numérique, la solution peut être

vemeni par des expressions analytiques les valeurs des coefficients Jes quotients incomplets, on est conduit à intégrer un système d'équations aux différences ordinaires dans lequel le nombre des quantités inconnues est d'aïUant plus grand que le degré du polynôme %a est plus élevé.

L'intégration de ces équations semble, en général, présenter d'assez grandes difficultés ; nous savons, en effet, que, dans un cas particulier relativement simple étudié parjacolii et par Borchardt {à savoir celui où z est l'inverse de la racine carrée d'un polynôme entier), l'intégration dépend de la théorie des fonctions elliptiques et des fonctions abélîennes.