I!R !.\ RÉDUCTION E
on a ici
Je remarquerai tout d'abord que, z élant une fonction impaire de X, les polynômes y„ et^n sont des fonctions paires on impaires de la variable, et que le produit <f,i/n est une fonction impaire.
Il en résulte que 0„ est une fonction paire, et l'on peut poser
Qa est une fonction impaire dont le terme de degré le plus élevé est le premier terme du développement de
on peut donc poser
enfin Qn, qui est une fonction impaire, sera de la forme A„x,
Portons ces valeurs dans les identités (19) et {20); en égalant à zéro les coefficients des diverses puissances de x, on obtiendra les formules suivantes :
dont les trois dernières permettent de calculer de proche ■ proche, et par voie récurrente, les nombres «i, a^ et è,.
La première donne les relations suivantes entre les réduit consécutives :
aw-4-3 ^
Kn exprimant que
yGoosle
est exaclement dîvisililc par x'' + 't'Ax^ + i , on obticnL cncc relations
i a„a„, — 6„è^i=2(n-4-i)a„= ■iX(a-HO',
et l'on trouve la valeur suivante du quotient :
25. La partie entière dadéveloppemenl de s étantsiinplem 1 a pour valeurs des premières réduites
d'où, au moyen des formules (aa), on déduit successivemeni valeurs des eoefficients a,-, ai et 6,-, à savoir
Les relations (a3) fournissent des moyens faciles de vérification.
26. Soit encore à déterminer les réduites de la fonction a dont le développement, suivant les puissances décroissantes de x, satisfait à l'équation différentielle
On a
Cela posé, des idenlilés (it)) et (20) on déduit
(.,„ ^. 3)a;=-i- (a„+,-H a„)3;+ ti«+i + P« = - (««^ + ^«) (A;,a: -f- BO; d'où les relations suivantes
qui permettront de calculei', [lar voie de récurrence, les nombres a,-, p,- et (I,-, bi.
Oji aura, d'ailleurs,
d'où l'on déduira successivement les valeurs des réduites par les
27. Le polynôme devant être divisible par 37*, on a encore ces identités
qui peuvent être considérées comme un système d'intégrales premières des équations aux différences finies (a^) et qui peuvent servir, soit comme vérification des calculs, soit pour déterminer les coefficients «,■ el b,-.
On a d'ailleurs, puisque le développement de s ne renferme pas
de partie enlière, par suite,
a„=\ = x^ + px^q
et
0„=U = rx-^s.
On a donc les valeiirs initiales suivantes :
«i = o, è, = o, a«= r, K = *, a„ =p, po = y ;
d'où l'on déduit, par voie de récurrence, ta suite des nombres qui déterminent les polynômes Q„.
