SUR LES FOYERS

Par mm. LAGUERRE-VERLY et Joseph SAGGIII, de Pavi Aouveiles Annales de Mathématiques ; i853.

Si le coeffîoienl angulaire d'une tangente menée par un point à ane conique rapportée à des axes se coupant sous l'angle y est égal à cosYitisiiiY.\/^^' ce point est «n fojer.

Cette propriété analytique des foyers, généralisation de celle qui a été indiquée par Plucker, offre un moyen très simple pour déterminer les coordonnées des foyers dans le cas le plus général.

Soient a et ^ les coordonnées d'un foyer de la conique rapportée à deux axes formant l'angle y, et posons

m= Bî— 4AG, 1= Dî — 4AF,

i'= E!— 4GF, Xr^îAE— BD,

k'=iCD— RE, n = DE — 'iRF,

l'équation de la tangente à la conique, en nommant p le coefficient angulaire, est

m/ = /npcn^pfc-h k'±\/p^{k^— ml)'^— ip{/ck'-j- mn)-]- k'^— ml' ,

qui doit être satisfaite par

x = -)., ^ = P, />.= co5Yi!::5inYv'— I ;

mettant ces valeurs de x et de y, et résolvant l'équation par rapport à p, on a

R ^ . /pQ^nr? , — ^ = Q^V/^5^^-''

yGoosle

rr,= v-i: ,...■ l/(PQ-R').

Qcos-/-R = o, Q-P = o,

i5(jualions qui délerniinent les valeurs de a, p, coordonnées des foyers.

Prenant pour axes les dîamÈIres conjugués égauj:, l'équation Q — P ^ o représente le système des deux axes principaux.

Note. — Soit y -^- ex = 0 i 'équation d'une tangente passant par l'origine

/■— ■^.e/i-h ie-' = <) (i, il, p. ro8).

Si l'origine est un fojcr

l = V, ,1 = IcosT, <Voi< l'on tire

'- = oosY±(sinY.