LES COURBES PLANES ALGEBRIQUES

rendus des séances de l'Académie des Sciences; i8S5.

le uij poinl ■be rencon-

II p-

1. On appelle en général foyer d'une courbe plù tel que deus des tangentes menées de ce poinl à la col Irenl la droite de l'infini aux. deux points I et J com les cercles tracés dans le plan (').

Soit une courbe plane réelle de degré n et de class posons d'abord qu'elle ne passe pas par les points 1 et J dont je viens de parler.

Par le point I on pourra mener p. tangentes à !a courbe; par k poinl J passera également on faisceau de \x tangentes, Lesintersec lions de ces deux faisceaux fbiirnironl les p.^ foyers de la courbe: p. d'entre eus seront réels et suffiront pour déterminer tous le; autres. iSous nommerons ces points foyers ordinaires, ou simplement foyers lorsqu'il n'y i

Si la courbe donnée passe par les points I et J , ;

i lien de craindre aucune s

(') Il serait nécessaire, vu l'impoiunce de ces points et leur fréquent usagée» Géométrie, de leur assigner un nom spécial. On pourrait les appelé i- omÈi/! ci du plan; ils jouent en effet, par rapport aux courbes tracées dans le plan, le même rôle que les ombilics situés à l'inCni sur un ellipsoïde paf rapport aux courbes tracées sur cette surface.

Toutes les sphères ont en commun une courbe plane du second ordre située à l'inlini. On pourrait l'appeler courbe ombilicale ou simplement ombilicale. Il esl clair que les ombilics d'un plan quelconque sont les points d' plan avec l'ombilicale.

des branches de Ja courbe qui passent par chacun de ces deux points. Les faisceaux de tangenies menées à la courbe pai- les p'oinLs I et J formeront deu\ groupes bien distincts. Le premier groupe, composé des tangentes qui touchent la courbe en un point autre que les ombilics, fournira ([A — 21) fovers réels ordinaires, entièrement analogues à ceux dont nous avons parlé ci-dessus. L'autre groupe, formé des tangentes ayant leur point de contact en un des points I et J sur la droite de l'infini, fournira i foyers réels que l'on doit considérer comme doubles et que nous appellerons/oye/'s singuliers.

Les foyers ordinaires et les foyers singuliers jouent le plus souvent un rôle très différent dans la Géométrie des courbes planes. Les courbes du quatrième ordre, ayant pour points doubles à l'infini les points I et J et étudiées par M, Moutard sous le nom A^anallagmatiquesdu quatrième ordre, nous offrent un exemple simple de ces deux espèces de foyers et de leur rôle divers. On sait que ces courbes peuvent être considérées de quatre manières différentes comme l'enveloppe de cercles coupant ortbogonalement un cercle directeur fixe et ayant leurs centres sur une conique. Une anallagmatique a deux foyers singuliers réels, qui sont les deux foyers réels communs aux quatre coniques qui peuvent servir à la description de la courbe, et seize foyers ordinaires, dontquatre réels, situés respectivement quatre par quatre sur les quatre cercles directeurs correspondant aux quatre coniques homofocales déjà mentionnées.

Dans tout ce qui suit nous supposerons essentiellement que les courbes' considérées ne passent pas par les points I et J, et par conséquent qu'elles n'ont pas de foyers singuliers.

De nos théorèmes généraux il sera d'ailleurs facile, dans chaque cas, de déduire les théorèmes particuliers qui doivent leur être substitués lorsque la courbe a des foyers sinj;uliers.

Pour éviter des répétitions inutiles, dans tous les thcorcmc^ énoncés ci-dessous nous conviendrons de désigner constamment par n et par [j. le degré et la classe des courbes considérées.

IL So)t/(.«,;^) = o l'équation d'une courbe plane algébrique, et soit M un point de son plan dont les coordonnées soient \ et Tj; la valeur de la fonction y( s;, jc), quand on y substitue les

coordonnées ^ et -/i du point M, savoir /(^, tj), ne dépend que de la position dti point M par rapport à la courbe^ Elle esl nulle pour Ions les points de la courbe, qui dans son plan sépare les régions où cette fonction a une valeur positive des régions où elle a une valeur négative. Dans les lliéorèmes qui suivent, nous ne considérerons que sa valeur absolue. Nous l'appellerons \a. puissance du point M relalivemenl à la courbe, en nous servant d'une dénomination déjà employée par Steiner pour le cercle,

La puissance d'un point n'est jusqu'à présent définie qu'à une constante arbitraire près; nous achèverons de la déterminer au moyen du premier des ihéorènies suivants :

ÏHÉoiiÈME 1. — Si par an point M, pris dans le plan d'une courbe plane, on mène un cercle quelconque, le produit des distances de ce point aux an points d'intersection de ce cercle et de la courbe esl égal à la puissance du point M par rapport à la courbe, multipliée par la n'^"'" puissance du rayon.

On peut supposer, dans ce théorème, que le cercle se réduise à une droite quelconque passant parle point M el à la droite de l'infini ; on obtient ainsi un théorème connu dont on dédoit facilement les théorèmes de Newton et de Carnot. Nous n'insisterons pas sur ces faciles déductions, non plus que sur le cas où le point M se trouve sur la courbe elle-même.

Théorème It, — Si un cercle est tracé dans le plan d'une courbe plane, la demi-somme des angles que font avec une direction fixe arbitraire les 2« rayons du cercle aboutissant aux points d'intersection, est égale, à un multiple près de 7t, à la somme des angles que font les n asymptotes avec cette même direction.

Relativement aux coniques, le théorème précédent se réduit à cette propriété bien connue : quand un cercle coupe une conique, les bissectrices des angles formés par les cordes communes sont parallèles aux axes.

Théouèmë m. — Sipar un point M, pris dans le plan d'une courbe, on mène les ^-\- n droites qui la coupent sous un angle donné V, le produit de toutes les longueurs comprises entre le point M et les pieds de ces droites est égal au produit des

1ES ALOÉBIIIOIIES. 21

distances du point M aux }j. foyers réels de la courbe, multiplié par la puissance du point M, le tout divisé par {2. siaV)".

Le produit considéré devient évidemment minimum, quand les droites sont normales à la courbe; en d'autres termes, quand smV = i.

On a dans ce cas le lliéorème suivant :

Théouëme IV. — Si par un point M, pris dans te plan d'une courbe, on mène les {}j. + n) normales à la courbe, le produit des longueurs comprises entre le point M et les pieds des normales est égal au produit des distances du point M au.v \t./oyers réels, multiplié par la puissance du point M, le tout divisé par a".

Lorsque dans le théorème UI on suppose V = o, on obtient pour le produit des (|j. + n) longueurs une valeur infinie; ce qui doil être, car le groupe des droites passant par le point M et rencontrant la courbe sous un angle, nul comprend, outre les jjl tangentes-passant par ce point, les n parallèles aux asymptotes. Le produit des tangentes est donné parle théorème suivant ;

Théorème V. — Si par un point M, pris dans le plan d'une courbe, on mène les tangentes à cette courbe, le produit des longueurs comprises sur les tangentes entre le point M et les points de contact est égal au produit des distances du point M aux [X foyers réels, multiplié par la puissance du point M, le tout divisé par 2" et par le produit des distances de ce point aux asymptotes de la courbe.

Des ihéorèines iV el V on déduit la proposition suivante : Théorème VI. — Si par un point "iili., pris dans le plan d'une courbe, on mène les tangentes et les normales à cette courbe, le produit des longueurs comprises sur les tangentes entre le point M et les points de contact, multiplié par le produit des distances de ce point aux asymptotes, est égal au produit des longueurs comprises entre le point M et les pieds des normales. Théorème VÎI. — Par un point M, pris dans le plan d'une courbe plane, menons les ]i.-\-n droites qui la coupent sous un angle donné V. Soient X, , X^, . . ,, Xn+^i les angles que font ces

droites avec un axe fixe arbitraire; soient J\, /a, ■■■, f^ les angles que font avec le même axe les droites joignant le point M aux |i foyers réels, et Ci, Çii ■ • -i îjn les angles de cet axe avec les asymptotes de la courbe. Tous ces angles sont reliés entre eux par la relation suivante, qui doit être vérifiée à un multiple près de 71,

Remarque. — Le second membre de l'équation précédente ne dépendant que de l'angle V et de la position relative du point M et des foyers de la courbe, la propriété exprimée par celle équation constitue une propriété générale des courbes de même classe ayant les mêmes foyers.

Si, dans le théorème précédent, on suppose V=^o, les angles des asymptotes avec l'axe fixe disparaissent d'eux-mêmes de la relation donnée ci-dessus, et l'on obtient le théorème suivant :

Ïhéobème Vni. — Si par un point M, pris dans le pian d'une courbe, on mène les tangentes à cette courbe, la somme des angles que font ces tangentes avec une direction fixe arbitraire est égale à la somme des angles que font avec cette même direction les droites joignant le point M aux foyers réels de la courbe.

Remarque. — Relativement aux coniques, cette proposition donne ce ihéorème bien connu de M. Poncelet : Les tangentes menées d'nn pointa une coniqne sont également inclinées sur les droites joignant ce point aux foyers.

La considération des courbes tracées sur la sphère conduit à des théorèmes généraux analogues aux théorèmes énoncés dans cette Note relativement aux courbes planes. Nous nous contenterons ici de cette mention, sans entrer dans de plus longs détails à ce sujet.

Lorsqu'une courbe est tangente à la droite de l'infini, elle admet pour foyers les divers points où elle la touche; dans l'application des théorèmes énoncés ci-dessus, îl est nécessaire de tenir compte de ces foyers situes à rinfioi.