S=-GM

ES

.-f^GR =

, Gdv ■^ËdTi'

( ' ) Mémoire sur ta théorie des surfaces, etc. ( Journal de l'École Polytechnique, XLII° cahier, p. 35 ),

Lk THÉORIE I)

J'ai introduit dans ce Tableau la valeur de tangj, en fonction de u et de c.

On a ainsi, en A, B, C, toutes les formules fondamentales relatives au cas où les courbes (u) et (c) sont orthogonales.

Il resterait à prouver que, si les fonctions M, ;N, P, Q, R, S, E, G satisfont aux équations aux. différences partielles contenues dans les Tableaux (B) et (C), ces fonctions déterminent effectivement une surface; pour cette démonstration, je renverrai au Mémoire de M. Bonnet, déjà cité.

Considérons maintenant le cas général; soit ao> l'angle sous lequel, en un point quelconque de la surface, se coupent les courbes (m) et (p) qui se croisent en ce point.

Nous choisirons tes axes M\ et MY , de telle sorte qu'ils coïncident avec les bissectrices de cet angle.

En désignant par ds un élément linéaire quelconque de la surface, posons

ds^ = R^du^-i- lEG cos.j.'u. du di- -^ G^ dv'',

ds cosi = (E d^ -h G df) coiw, dssini^ (E du — G di')siaui, et

rfs cosra = (Ei^it-;- G rfc) cos(u cosa + (E rf« — G f?!') siiiw cos^;

je ne transcris pas les valeurs de ds cosè et ds cosc.

Si nous exprimons que ces trois dernières quantités sont des différentielles exactes, nous obtiendrons les relations contenues dans le Tableau suivant, où j'ai transcrit la valeur de tangî,

\dv du J tangu) \, dv / \ du j

IdE dG\ ^/,, dfù\ „ /,. <fiu\

(GR-hEQ}sino) = (ES — GP)cosu),

. E rfw — G dy tangt = =-^ ^ , ■ tango).

Les Tableaux (A), (B), (C) renferment toutes les formules fondamentales relatives au cas le plus général.

En terminant, je ferai remartjuer que les considérations précédentes s'appliquent, sans modification, an cas de l'espace, lorsqu'on en détermine les points par les intersections successives de trois séries quelconques de surfaces.

Je reviendrai sur ce sujet.