RECHERCHES ANALYTIQUES

SURFACE RÉCIPROQUE DE U SURFACE DE STEINEfi.

Nouvelles Annales de Mathématiques ; 1873 et 1S73,

I. — Détermination des lignes asymptotiques de la surface (').

1. La théorie de celle surface se raltache inlimement, comme je me priipose de le faire voir daDS cette Note, à Ja ihcorie des formes bi quadratiques simultanées.

Soient a, b, c, cl et e cinq fonctions linéaires des coordonnées cartésiennes x, y et s; nous pouvons considérer les valeurs que prennent ces fonctions en un point de l'espace comme les coordonnées (pentaédrîques) de ce point; il est clair d'ailleurs qu'entre ces coordonnées d'un point existe une relation linéaire, satisfaite identiquement, et que je mettrai sous la forme

(T) «e — 46S + 6cy~4rfp + e«-o,

a, p, y, S et £ désignant les constantes numériques que je rattacherai au polynôme du quatrième degré

(') Les lignes asymptotiques de ta surface de Steiner (qui sont réciproques des lignes que nous étudions ici) ont été trouvées pour U première fois par M, Glebseh (Journal de Borehardt, t. LXVilI, p. i).

Sur la relation qui a lieu entre les lignes asymptotiques d'une surface et celles de la réciproque, voir une Note de M. Maonheim (Bulletin des Sciences mathématique», t. I, p. igS).

on voit que la relation précédente exprime que l'I dratiqne simultané des foi'mes « et u est égal à zéro.

2. L'équation m = o ('), si l'on y considère t comme un paramètre variable, représente un pian mobile qui enveloppe une surface du sixième ordre, dont l'équation est

si l'on représente respectivement par i etj l'invariant quadratique et l'invariant cubique de la forme u. Les équations de son arête de rebroussement sont

surface que je me propose d'étudier est la ; ordre K, dont l'équation est

Si l'on désigne par S la surface du second ordre (ou qiiadrique) représentée par l'équation

i = ae — 4èrf+3c5 = o,

on voit, eu consldérani l'équation (a), que la surface développable dont j'ai parlé plus haut touche X. tout le long de l'intersection de cette surface avec S, c'est-à-dire tout le long de son arête de rebroussement.

D'où la conséquence suivante :

La cubique X est coupée par la quadrique S suivant mie de ses lignes asympto tiques.

3. Il est facile de voir qu'en réalité les considérations précédentes noiis conduisent à la détermination complète des lignes

asjmpiotiques de Si.

BUR LA SURFACE RÉOlPROQUIt DI

Considérons le système linéaire numérique p q r

dont, ponr plus de simplicité, je supposerai le déterminant égal ; l'unilé, et le système composé suivant

P p' p' abc P q r a! b' d q q' q° X h c d X p' q' r' = b' c° d' . r r' r^ c d e p" q" r" c' d' c'

Si l'on choisit les nombres p, q, r^ ... de telle sorte que l'oi

ait c"= d, il est clair que l'on aura

\ c' d' e \ \ c d e \ et l'équation de X s'obtiendra en égalant à zéro l'une ou l'autre de ces deux expressions; mais l'on n'aura pas en général

c'est-à-dire

L'équation t'=o représenlera donc une nouvelle quadriqoe coupant 3t suivant une de ses lignes a sympto tiques, et la question qui s'offre à nous est la suivante :

Les nombres p-, q, r, ... étant choisis de telle sorte que la. relation é' =^ c' soit satisfaite, trouver les différentes valeurs que peut prendre l'expression

■4. J'emploierai dans la suite de ce Chapitre les notations dont je me suis servi dans mon Mémoire sur le calcul des systèmes linéaires ('); une grande lettre représentera un système linéaire,

C) Journal de l'École Polytechnique, t. XXV. Pour éclaircir ces notations par quelques exemples

a' fi' r

yGoosle

la même lettre affectée de l'indice zéro ou de l'indice i le système réciproque ou le système inverse, et la caractéristique A la valeur du déterminant du système linéaire qu'elle précède.

Cela posé, en calculant les quantités c" et c', on trouve que, pour qu'elles soienl égales, on doit avoir la relation

l jora-i- ijir' -^ rp")b + {pr' ^ rp" -\- r' p')o-\-{p' r' ^ r' p°)d-^ p"r \ = q--a + %qq' b ^ {■i.qq" -\- q'^)c ^ lq'^ d + q~^e;

cette relation doit être identique et elle ne peut différer que dans la forme de la relation (i). On en déduit, p désignant une certaine quantité numérique, la série d'égalités