L\ DETERMINATION DU PLAN OSCULATEUR

us i'OliNT DE CETTI! GOUHI

Bullelin de la Société mathématique de France; iS^S.

\. J'appellerai simplement biquadratiqiie sphérique la courbe qui résdlte de i'inlerseclion d'uûe sphère S et d'une surface du second ordre.

On peui aussi la considérer à un autre point de vue {'). Soit une conique quelconque K; la développable, circonscrite à cette conique et à la sphère S, touche cette sphère le long d'une courbe qui est, comme on le sait, la biquadratique sphérique. Cette développable a d'ailleurs, indépendatmiient de la conique K, trois autres lignes doubles K.,, Ka el fv^, qui sont également des coniques et qui jouent, par rapport à la courbe, exactement le même rôle.

2. Une biquadratique sphérique a seize foyers ordinaires; c'està-dire qu'il y esiste quatre génératrices de la sphère de chacun des systèmes [droites isotropes), qui sont tangentes à la courbe. Leurs intersections mutuelles déterminent ses seize foyers ordinaires; il est clair d'ailleurs que, la biquadratique étant supposée

(') Voir, Bulletin de la Société phitomathique^ courbes résultant de l'intersection d'une sphère

ma Noie Sur les ur/ace du second

réelle, quatre de ces foyers sont réels et déterminent complètement tous les autres.

Dans ce qui suit, je désignerai par F, F,, Fa et Fj ces quatre foyers réels. Les seize foyers sont aussi, comme on le voit facilement, les points d'intersection de la sphère avec les coniques K, K,,K2eiK,.

D'oii il résulte que les foyers réels peuvent être situés tous les quatre sur l'une de ces coniques, ou être distribués deux par deus sur deux d'entre elles ; à ce point de vue, nous distinguerons donc deux classes de biqiiadratiques : celles de première classe où les foyers réels appartiennent à la même conique, celles de seconde classe où ils sont répartis entre deux coniques.

3. Soit M un point de la sphère S; on sait que par ce point passent deux biquadraliques ayant pour foyers les points F, F,, Fï et F3, et que ces deux courbes se coupent à angle droit.

Pour construire les tangentes en ce point, je distinguerai deux cas :

1° Si la biquadratique est de première espèce, menons un plan par ie point M et deux quelconques des foyers réels, et un second plan par ce même point et les deux autres foyers.

Cela posé, si l'on désigne par Mi et M/' les traces de ces plans sur le plan tangent à la sphère au point M, les deux bissectrices de l'angle î'Mf sont les tangentes aux biquadratiques qui se croisent au point M.

2° Si la biqiiadra tique est de seconde espèce, appelons F et F, les foyers qui se trouvent sur une des coniques, F2 et Fj ceux, qui se trouvent sur une deuxième conique, et menons respectivement des plans par le point M et les droites FF), F3F3.

Gela posé, si l'on désigne par Mt la trace du premier plan et par Ml' une droite perpendiculaire à la trace du second sur le plan tangent à la sphère au point M, les deux bissectrices de l'angle t'Mt sont les tangentes aux deux biquadratiques qui se croisent au point M.

A. Ayant ainsi déterminé les tangentes aiix biquadratiques qui passent par un point de la sphère, proposons-nous de construire, pour l'une d'entre elles, le plan osculateur.