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OÙ jT^^i jvTÂ"' ■ ■ ■ "'^ désignent pas les inverses des long-ueiirs MN, MA|, ..., mais bien des quantités géométriques égales à ces inverses en valeur absolue, et portées dans les directions des droites joig-narit M aux points N, A,, . . . , en sorte que ces quantités se composent comme des forces.

En donnant plus d'extension à la dénomination bien connue due à Maclaurin, nous dirons que le point N, déterminé comme je viens de le dire, est le centre harmonique du point M relativement aux points A, , A^, . . ., A,,.

On peut remarquer, à ce sujet, que, si les points M, Âj, Âj, , ■sont sur une même sphère, tl en sera de même du point N.

Cette définition étant admise, on a ce théorème :

i£n un point quelconque M d'une biquadratique sphérlque, le plan osculateur passe par le centre harmonique du point M par rapport aux quatre foyers réels de la courbe.

On en déduit la construction suivante ;

La tangente au point M ayant été déterminée, comme je l'ai dit précédemment, par M et les foyers F ei F) , faisons passer un cercle sur lequel nous prendrons le point tp conjugué harmonique de Mpar rapport ॠetF,; par M et les deux autres foyers faisons passer un cercle sur lequel nous prendrons le point f' conjugué harmonique de M par rapport à ces deux foyers. Faisons enfin passer un cercle par les trois points M, ta et f' ; le point [a de ce cercle, conjugué harmonique de M pairapport à f et tp', déterminera, avec la. tangente, le plan osculateur de la courbe au point M.

5. La conique sphérique est un cas ])articiilier de la b'iquadrallque ; les quatre fojers réels sont respectiïemenl les points d'intersection F et F,, Fï et F, de la sphère avec les deux focales réelles du cône du second degré donlelle est la base.

La construction précédente se simplifie alors un peu; en effet, les points F et F, clant alors diamétralement opposés, le conjugué harmonique de M par rapport à ces deux points est le second point où la sphère est rencontrée par la perpendiculaire abaissée de M sur la focale FF,. La nième chose a lieu pour les deuK autres foj'ers.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Étant donné un point M sur une conique sphérique, si de ce point û/i abaisse sur les deux focales réelles de la courbe des perpendiculaires rencontrant la sphère en m et m', le plan osculaleur de la courbe au point M passe par le conjugué harmonique de ce point relativement aux points m et m' .

(). Il est presque inutile de faire remarquer que les propositions précédentes s'appliquent aux coniques et aux courbes planes {anallagmatiques du quatrième ordre) qui sont les projections stéréographiques des biquadratiques sphériques.

Relativement à ces dernières courbes, on a le théorème suivant :

En un point quelconque M d'une anallagmatique du quatrième ordre, le cercle osculaleur passe par le centre harmonique du point M relativement aux quatre foyers réels de la courbe.

7. J'ajouterai quelques mots sur le problème analogue relatif aux surfaces {anallagmatiques du quatrième ordre) qui, dans l'espace, correspondent aux biquadratiques sphériques.

Ces' surfaces, d'après un beau théorème dû à M. Moutard, peuvent être considérées de cinq façons dilFérenles comme l'enveloppe de sphères qui se déplacent en coupant orthogouatement une sphère tîxe, tandis que leur centre décrit une surface du second ordre.

Les cinq surfaces du second ordre au moyen desquelles on peut décrire ainsi la surface sont homofocalcs. Une normale menée en

LA BTOTJAIrRATlQi:E SPilÉRlQUE El LA DÉTLRMLSATION DU PLAN OSCULATBUR. 35l

an poinl M de la surface anallagmalique rencontre chaciine de ces surfaces en deux points dont l'un est conjugué au point M.

Cela posé, on a la proposition suivante :

Quand une normale à une sur/ace anallagmalique se déplace, le rapport anharmonique de quatre quelconques des cinq points conjugués où elle coupe les cinq sur/aces homo/ocales demeure constant (').

On déduit de là, comme on le voit facilement, une construction des rayons de courbure principaux de l'anallagmatique, en s'appuyant sur celte propriété bien connue, que les normales en deux points infiniment voisins d'une ligne de courbure sont dans un même plan, et en employant le théorème de Brianchon.

ÎVtais le problème est susceptible d'une solution plus élégante reposant sur des considérations .très générales que j'ai données dans une Note Sur quelques propriétés des courbes algébriques, etc., insérée dans le Bulletin de la Société philomathique, en décembre 1871.

Celle solmion se déduit de la proposition très simple qui suit.

Appelons centre d'une surface anallagmatique le centre C commun aux cinq surfaces du second ordre homofocales qui permettent de la décrire.

Cela posé :

Étant donnée une droite quelconque Mï louchant une anallagmatique au point M, celte tangente rencontre de nouveau la sur/ace en deux points; désignons par T le milieu de la droite /oignant les centres des sphères qui touchent la sur/ace en ces points et passent par M. Si, par le point M, on mène une droite parallèle à IC, dirigée dans le même sens et de longueur double, l'extrémité de cette droite est le centre de courbure de la section faite dans la surface par le plan normal passant par MT.

Cj J'ai communiqué verbalement ce tbéorùme à la Sociclé philomathique en mai 1868, et précisément dans le but d'en déduire ia construction des rayons de courbure principaux de l'anallagmatique. Depuis, M. DarbouK l'a obtenu Je son côlé et en a développé les principales conséquences dans un Mémoire sur la cyclide inséré auï Annales de l'Ecole normale supérieure, tS-^i.