MÉMOIRE SUR LA GÉOMÉTRIE DE LA SPHÈRE

Bulletin de la Société mathématique de /

•éliminaires siii dans le plai

\. Je rappellerai d'abord la signification de quelques termes cl de quelques noLalions q!ie j'emploierai constamment dans ce Mémoire.

On sait que tous les cercles tracés dans un plan se coupent en deux points Gxes situés sur la droile de l'inSni ; je les désignerai sous le nom ^ombilics du plan; les droiles du plan, qui convergent vers ces points, ont respectivement, si l'on suppose la figure rapportée à des axes rectangulaires, pour coefficients angulaires + t et — (.

Je désignerai les droiles, dont le coefficient angulaire est -+- (, sous le nom de droites isotropes du premier système; l'ombilic par lequel elles passent, par la lettre I. Les droites isotropes du second système ont leur coefficient angulaire égal à — i; elles passent toutes par le second ombilic que je désignerai par la lettre J.

2. Soit un point imaginaire a d'un plan; par ce point passent une droite isotrope du premier système contenant un seul point réel A et une droite isotrope du second système contenant un seul point réel A'. Il est clair que ces deux points sont complètement déterminés par le point a, et que réciproquement ce derniet est déterminé sans ambiguïté par les points A et A'.

Je dirai (') que AA' est le segment représentatif du point a, A étant l'origine et A' l'extrémité de ce segment.

(') Voir ma Noie Sur l'emploi des imaginaires en Géométrie {Nout/, Ann.

Je rappellerai à ce sujel les deux propositions fondamentales suivantes :

Si tes segmenls AA', BB', CG, . . . représentent des points en ligne droite, le polygone ABC. . . formé par les origines des segments et le polygone A'B'C ■ . formé par leurs extrémités, sont semblables et inversement placés.

Étant donnés deux points imaginaires représentés par les segments AA' et BB', le carré de la distance de ces deux points est une quantité imaginaire, dont le module est le produit des longueurs AB et A'B', et dont l'argument est l'angle dont il J'aut faire tourner la droite AB autour du point A, le point B ^e mouvant sur un cercle dans le sens direct {c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre) jusqu'à ce que cette droite soit parallèle à A'B' et dirigée dans le même sens.

3, Etant données deux droites D et D' situées dans un plan, j'appellerai angle de la droite D avec la droite D', et je désignerai par la notation DD', l'angle dont il faut faire tourner, dans le sens direct, la droite D pour qu'elle vienne coïncider avec D'. Il est clair que, cette coïncidence obtenue, une nouvelle rotation ■égale à x ramènera de nouveau la coïncidence. L'angle de deux droites est donc déterminé à un multiple près de tt.

Supposons maintenant que, non seulement les droites D et D' soient données, mais encore que, sur chacune d'elles, on donne In sens dans lequel on doit compter les longueurs positives; j'appellerai alors angle de la droite D avec la droite D' l'angle dont il faut faire tourner la droite D dans le sens direct, jusqu'à ce qu'elles coïncident et que sur chacune d'elles les longueurs positives soient comptées dans le même sens.

Un tel angle est évidemment déterminé à un multiple près de ait, et, par suite, toutes ses lignes trigonométriques sont parfaitement déterminées.

4. Étant donnés trois points A, B, D, je désignerai par la notation BAD l'angle de la droite BA (BA étant considéré comme un segment positif) avec la droite DA (DA étant également considéré comme un segment positif).

C'est, par conséquent, l'angle dont il faut faire tourner (dans le sens des aiguilles d'une montre) !e point B pour qu'il se raLalte, non seulement sur la droite AD, mais encore du même côté que le point D, par rapport au sommet de l'angle A.

Si deux arcs de courbe BA et DA se croisent, sur une splière, au point A, j'appellerai angle de l'arc BA avec l'arc DA, et je

désignerai par la notation BAD l'angle dont il faut faire tourner la droite meucc par le point A tangentiellement à l'arc AB et dirigée dans le même sens, jusqu'à ce qu'elle coïncide avec la droite menée par le point A tangentiellement à l'arc AD et dirigée dans le même sens, le mouvement ayant lieu dans le sens des " aiguilles d'une montre pour nn spectateur placé au-dessus de la sphère.

5. Soient trois points réels A, B, C. Menons par ces points trois droites isotropes du premier système; une droite quelconque D tracée dans le plan les rencontre en trois points c, p, y, et il est clair que le rapport ~ est indépendant de la direction de la

droite U.

Pour évaluer ce rapport, on peut donc supposer cette droite réelle, cl, en se reportant aux propositions données (n" 2), ou bien par une recherche directe très facile, on trouve

a? AB ^ ,ay " ÂG '^ ' "

Il est important de remarquer que, dans celte formule, AB et AC sont des quantités essentiellement positives.

6. Considérons maintenant quatre points réels du plan A, B, C, D; les quatre droites isotropes du premier système passant par ces points forment un faisceau, dont le rapport anharmonique a généralement une valeur imaginaire re^'. Je dirai que cette quantité est le rapport anharmonique des quatre points A, B, C, D, et je la désignerai, suivant l'usage habituel, par la notation (A, B, C, D); la quantité /•, qui est essentiellement positive, sera dite le module du rapport anharmonique et l'angle G Vargument de ce rapport.

Pour évaluer ces quaotilés, coupons le faisceau de droites isotropes par une tiroile quelconque qui les rencontre aux points a:, P, y et S. Ou aura (A, B, C, D) = ^^ : ï|, ou, en vertu de la formule donnée dans le numéro précédent,

D'où les conclusions suivantes :

Etant donnés quatre points réels d^ un plan A, B, C, D, le module de leur rapport anharmonique (quantité essentiellement jjositive) est. égala j^i • pn' ^' ' argument de ce rapport est l'angle ÉaT) ~ ÊCÛ ou encore l'angle Amj — Xot.

Remarque. — Il est évident qne l'argument est déterminé â un mulliple près de 2t:.

7. Si l'on avait mené par les points A, B, C, D les droites isotropes du second sjstème, le faisceau ainsi obtenu aurait eu pour rapport anharmonique re~^'; je dirai, de deux rapports anharmoniques qui ont même module et qui ne diffèrent que par le signe de l'argument, qu'ils soni improprement égaux.

Si quatre points sont situés sur un cercle (ou sur une droite), les faisceaux, passant par ces points et chacun des ombilics, ont même rapport anharmonique; le rapport anharmonique de ces quatre points est donc réel. D'oii cette conclusion ;

Si quatre points d'un plan sont situés sur une même circonférence (ou sur une même droite), l'argument de leur rapport anharmonique est un multiple de tz.

La réciproque est évidemment vraie.

Lorsque quatre points se trouvent ainsi sur une circonférence (ou sur une droite), le rapport anharmonique, tel que je l'ai déiini dans le numéro précédent, a évidemment la même valeur que le rapport tel qu'on le définit habituellement. Il n'y a, par suite, aucune ambiguïté à craindre dans l'extension que j'ai donnée à la signification du mot rapport anharmonique.

8. Étant donnés quatre ]iolnls et, ^, y, S situés sur une droite réelle ou imaginaire, soient AA.', BB', CC, DD' les segments représentatifs de ces points; de la définition que j'yi donnée ci-dessus, il résulte immédiatement que le rapport anliannoniqiie des quatre points et, p, y, S est égal à celui des points A, B, C, D.

Il en est de même lorsque ces points sont situés sur une circonférence.

On peut donc énoncer la proposition suivante :

Si quatre points sont situés sur une circonférence [ou une droite) réelle ou imaginaire, leur rapport anharmonique est égal au rapport anharmonique des quatre points réels qui sont les origines des segments représentatifs de ces droites, ou bien encore au rapport anharmonique des quatre points réels t/ui en sont les extrémités.

9. Pour faire une application simple de celle proposition, je prendrai pour point du départ la propriété suivante, fondamentale dans la théorie des sections coniques : Étant donnée une conique tangente à quatre droites fixes, toute tangente à cette conique coupe les quatre tangentes fixes en quatre points dont le rapport anharmonique est constant; et je supposerai qu'une ou plusieurs de ces droites deviennent imaginaires.

Considérons, par exemple, un triangle circonscrit à une conique et la droite isotrope du premier système issue d'un de sesfojersF, celte droite et les trois côtés du triangle forment un quadrilatère circonscrit à la conique. Une tangente mobile coupe les côtés du triangle aux points a, ^, y et la droite isotrope en un point imaginaire représenté par un segment dont l'origine est le point F. On en conclut que le rapport anharmonique des quatre points œ, p, y et F demeure constant, lorsque la tangente mobile se déplace, far suite des formules données (n" 6), on a donc

Au premier abord, on pourrait croire que l'angle aFp est con-

stant, puisque les noinls a, 8, y sonl en ligne droite; mais il faul remarquer que, d'après nos conveations (n" 4), ay^ esl égal à o ou à Tî, suivant que le point y est en dehors du segmenl a^ ou dans l'intérieur de ce segmenl; l'angle aFp peut donc varier d'une demi-circonférence.

Quant à l'angle des deiis. tiroitcs Fa et F^ (ces droites étant considérées indépendamment de leur direction), ii demeure consiant.

Considérons eucore une droite T tangente à une conique, les deirx tangentes isotropes issues dn foyer F, et la tangente isotrope du second système issue du foyer G; ces quatre droites forment un quadrilatère circonscrit à la conique. Soit T' une tangente quelconque à cette conique rencontrant la tangente fixe en a; elle coupe les droites isotropes du premier système issues des foyers en des points imaginaires dont les segments ont pour origine ces foyers eux-mêmes, et la droite isotrope du second système issue du foyer F en un point représenté par un segment dont l'extrémité est en F; l'origine de ce segment est donc le point F' symétrique de F par rapport à la tangente mobile,

D'oùl'on volt que le rapport anharmonique des quatre points œ, F, F' et G demeure constant, lorsque la tangente mobile se déplace.

On déduit de là les relations suivantes entre les divers éléments du quadrilatère FF'aG :

faCi—FF'G^ coiist., FkG — FF& = const., #aF^— l'GV = const., FGi — KF'à = const., ('),

Si l'on remarque que FG est constant et que V'y. ^Fa, les dcuit dernières égalités donneront

D'où l'on déduit, en particulier, cette propriété bie

le lieu du point F' esl une circonférence fie cercle ayant pour centre le fojcr G.

10. Je ne m'étendrai pas davantage sur les nombreuses relations métriques qne l'on peut déduire delà proposition fondamentale de la théorie des coniques et qu'elle renferme ainsi comme cas particuliers.

Je ferai seulement l'observation suivante : bien que, dans les théorèmes que nous obtenons ainsi, les éléments de la figure soient essentiellement supposés réels (en vertu même du mode de démonstration), ils n'en sont pas moins vrais dans toute leur généralité; rien n'empêche donc, dans ces nouvelles propositions, de supposer que certains éléments deviennent imaginaires et d'en déduire de nouvelles relations (').

(') En général, quand clans une figure certains éléments deviennent iroagioaites, toute tels; ion relative à eetie figwre donne devis relations, en metiant en évidence la par:ie réelle et h partie imaginaire. D'une proposition donnée on déduit donc deux autres propositions généralement distinctes.

une simple ideniité, ou bien encore que l'une d'enire elles serve seulement à lever une ambiguïté et à fixer le signe dont une quantité doit ëlre afTectée. Comme eiemple de ce dernier cas je prendrai la proposition suivante :

La somme des distances d'un point d'une ellipse aux deux foyers imaginaires situés sur le petit axe est constante et égale à a ti, S désignant la longueur du petit axe.

Au sujet de ce théorème je ferai observer que les dislanceî dont il s'agit étant comptées sur des droites diffiirentes, il est impossible d^iïori de fixer leur valeur. En désignant donc par = et f les deux foyers imaginaires de l'ellipse et par Mœ et M Y deux quelconques des valeurs dont sont susceptibles les distances du point M de l'ellipse aux foyers o et y, te théorème précédent s'exprime par l'égalité suivante ;

e.Mç + Ti.Mr = 26',

s et Ti étant des constantes dont la valeur est -1- i ou — 1.

F et G désignant les deui foyers réels de i'ellipse, on a a = {V, G) et r = (G, F); j'exprime ainsi que f et ï ont respectivement pour segments représentatifs les segments FG et GF,

Le point M, étant supposé réel, d'après la formule donnée au n" 3, on a, ^ désignant l'angle positif, inférieur â un droit, que fait avec ta normale M\ chacun des rayons vecteurs FM et GM,

Mï= v'MF.MGe''' et Ma = y'Mb'.S