LA SPHERE, 3S

11. Soient deux faisceaux homographiques de droites isotropes du premier système ; le premier de ces faisceaux est déterminé par le système S des points réels A, B, C, ... situés sur les rayons qui le composent; le second est également déterminé par un système S de points réels A', B', C, ■ . ■ .

Cela posé, il résulte immédiatement de cette définition que le rapport anharmonique de quatre points quelconques du système S est proprement égal au rapport anharmonique des quatre points correspondants du système S'. Je dirai que ces, deux systèmes sont proprement anharmoniques .

Soient un faisceau de droites isotropes du premier système déterminé par un système S de points réels A, B, C, ..-, et un faisceau homograpliique de droites isotropes du deuxième système déterminé par un système S' de points réels A', B', C, .. .; on voit immédiatement que le rapport anharmonique de quatre points quelconques du système S est improprement égal au rapport anharmonique des quatre points correspondants du système S'. Je dirai que ces deux systèmes sont improprement anharmo-

Lorsqu'on transforme une figure S par rayons vecteurs réciproques, la transformée est improprement anharmonique à S; en sorte que, quel que soit le nombre des transformations analogues que l'on opère, la figure transformée sera toujours proprement ou improprement anharmonique à la figure primitive, suivant que le nombre des tian s formations sera pair ou impair.

on déduit de là

v'ME''.MG(Ea-^'+ ïie*') = a*i,

ou, en égalaiil de part et d'autre les parties réelles et les parties imaginaires, v'MF.MG(e + ii) cosî. = 0, i/MF.MG(ti — s) iitah. = -ibL

La première équation montre que l'on a b =^ ti; portant cette valeur dans la seconde équation et élevant an carré, après avoir supprimé le facteur — (j, il

MFsinîi.MGsiii), = 6',

on bien FP.GQ ~ b', en désignant par P et Q les pieds des pcrpendirnlaires abaissées des foyew sur la tangente en M.

12. De la noli'on qui précède résiille immédiatemeiil la proposi- Lion suivante :

Si, sur une droite [ou un cercle) réelle ou imaginaire, on a une série de points représentés par des segments dont les origines forment unpolygone P; si, sur une autre droite (ou un autre cercle), on a une série homo graphique de points représentés par des segments dont les origines forment un polygone V , les deux polygones P et P' sont proprement anharmoniques.

Pour faire une application de cette proposition, considérons une conique réelle R et une droite imaginaire a tangente à cette courbe, que, par suile, toucliera également la droite a' imaginaivement conjuguée de la première. Une droite réelle mobile tangente à K rencontre a en un point {A, A'), et a' au point imaginairement co„i„.„c(A', A).

Pendant le dcpiaccment de la tangente, le point (A, A') se meut sur une droite; donc la figure (A.), décrite par le point A, est semblable à la figure (A'), décrite par le point A', et inversement placée, et les deux figures sont improprement ankarmoniques. D'autre part, en vertu de cette propriété fondamentale des coniques que la tangente détermine sur a et a' des divisions homographiques, les figures (A) et (A') sont proprement anliarmoniques ; il en résulte (n° 8) que les courbes (A) et (A') sont toutes deux des cercles.

D'où les conclusions suivantes :

Quatre droites réelles tangentes à une conique réelle coupent une droite imaginaire quelconque tangente à cette conique en quatre points représentés par des segments dont les origines sont situées sur une même circonférence.

Si un point mobile M décrit une circonférence, tandis qu'un autre point M' décrit une autre circonférence en sens inverse et dans le même temps, le point milieu 1 de la corde MM' décrit une conique et la droite menée en I perpendiculairement à la corde enveloppe une autre conique.

■13. Tous les théorèmes relatifs à la division liomograpliique

MÉMOIRE Sl'n LA GÉOMÉTRIE DE LA SPHÈRE. 36t

sur iino même droite ou sur des droites différentes donnent évidemment lieu à autant de théorèmes correspondants relatifs à deux systèmes de points proprement anharmoniques ; pour les développer, je n'aurais qu'à transcrire ici plusieurs chapitres de la Géométrie supérieure et des Sections coniques de M, Chasies. J'éviterai au lecteur la peine de relire, sous une autre forme, des propositions bien connues et les emploierai, dans la siiiie de ce Mémoire, toutes les fois qu'elles me seront utiles, sans entrer dans plus de détails à ce sujet.

Je ferai cependant la remarque suivante, à cause de son fréquent emploi. On connaît (Sections coniques, p. 99) le théorème suivant :

Si l'on a, sur une droite, une série de points en involution, les conjugués harmoniques d'un point P quelconque de cette droite, relatifs aux couples de points de V ineolution, déterminent une série de points (P) ; à un autre point V de la droite correspond une autre série (!*'); les deux divisions (P) et (P') sont homo graphique s.

D'où celte conséquence pour une figure plane :

Étant donnée dans un plan une figure en involution ('), les conjugués harmoniques d'un point quelconque P du plan déterminant une figure (P); à un autre point V correspond une autre figure (F) ; les deux figures (P) et (P') sont proprement anharmoniques.

J'appellerai courbe en involution une courhe dont les points peuvent se grouper deux à deux, de telle sorte que deux points conjugués M et M' fassent partie d'un système de points en involution. On déduit alors de ce qui précède la proposition suivante :

Si l'on prend successivement les points conjugués harmoniques de divers points du plan par rapport aux couples de

{') Par la propriété fondamentalu de: t'i mol u lion, on voit que A et A.' étant deux points conjagués, ces deux points et les deux points doubles P et Q sont situés sur un même cercle; de plus, les quatre points A, A', P et Q déterminent sur ce cercle une division harmonique.

points conjugués d'une courbe en invohuion, les diverses courbes ainsi obtenues sont proprement anharmoniques .

En particulier, si, po\ir un point du plan, la courbe est un cercle, elle sera également un cercle pour foui autre point; ainsi le lieu des points milieux des cordes joignanlles points conjugués est un cercle. La courbe en involiition qui jouit de celte propriété est par là même complètement définie, et je l'ai déjà étudiée dans une Note Sur les cassiniennes publiée dans le Bulletin de la Société phi/omathiqtte (mars 1868). Ses nombreuses propriétés se déduisent du reste avec la plus grande facilité, en employant les considérations qui précèdent, des simples et élégantes relations données par M. Ghasies dans sa Géométrie supérieure, relativement à un système de segments en involiitîon et aux milieux de ces segments.

iA. Soient (A) el (A') deux systèmes de points improprement anharmoniques, le faisceau déterminé par le système (A) et l'ombilic I et le faisceau déterminé par le second système et l'ombilic J sonlhomographiques; par suite, tous les points imaginaires (A, A') sont situés sur un même cercle. D'où cette conclusion :

Si deux systèmes de points (A) et (A') sont improprement anharmoniques, tous les points imaginaires (A, A') sont situés sur un même cercle.

Réciproquement :

Si un certain nombre de points (A, A'), (B, B'}, . . . sont situés sur un même cercle, les deux systèmes de points A, B, ... et A', B', ... sont improprement anharmoniques.

SDR DN GENRE PARTICHIIER DE SURFACES

DONT ON PEUT INTKGIiER LES LICNES GEODESIQUES.

Bulletin de la Société mathématique de France; 1S7S.

Si l'on considère les surfaces pour lesquelles l'élément de longueur est donné par la formule

on vérifie aisément que leurs lignes g-éodésiques sont données par l'équation

i désignant l'angle que fait la ligne géodésique avec la courbe

SUR LES NORMALES

suit UNE SURFACE DU SECOND ORDIIE.

Comptes tendus des séances de l'Académie des Sciences;

\. Étant données une surface du second ordre el uiio coni(|uo siLiiéc sur cette surface, i! semble, au premier aboi'd, que l'on puisse toujours déterminer trois points de cetle conique, de telle façon que les normales, menées à la surface en ces points, se coupent en un même point; le nombre des équations de condition auxquelles on doit satisfaire est en effet égal au nombre des constantes arbitraires dont on peut disposer.

Il est remarquable que les coniques jouissant de la propriété que je viens d'énoncer ne puissent être arbitrairement cboisies, et que leurs plans enveloppent une surface de quatrième classe S.

Réciproquement, étant donné un plan quelconque II tangent à S, il lui correspond une droite A, dont voici la propriété principale :

Si d'un point M, pris arbitrairement sur A, on mène des normales à la sur/ace du second ordre, trois despieds de ces normales décrivent la conique de cette surface située dans le, plan n, et les côtés du triangle dont ils constituent les sommets enveloppent une autre conique, les pieds des trois autres normales décrivant une conique située dans un second plan II' tangent à S,

Je dirai que les plans II et II' sont deux plans conjugués de la surface S, et que la droite i lui est associée.