Soient
l'équation de la surface du second ordre ; X., Y, Z les coordonnées d'un point quelconque M; 5, f\i K et |', Vi K' les coordonnées d'un couple quelconque de sommets opposés de l'hexaèdre ayant pour centre le point M.
En introduisant des quantités auxiliaires X, u, v définies par les
equiitioi
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on éUblira facllcmen
lies
.ixrelalloni
(1) if--
l-^-^'-vX-XZ,
i-C = XY — |/X,
■4. Les équations (a), qui établissent une relation si sim|)le entre deux sommets opposés de l'hexaèdre, ont déjà été données, sous une forme un peu différente, dans un beau Mémoire de Joachimstahl (').
{') De œquationibus quarti et sesili gradm quie in i/ieoria linearu, superficierum secuitdi ordinis occurrunt {Journal de Crelle, t. 53).
Des équations (3) on déduit les relations
x(5 + 5') + ,^(Ti + V) + v(c + i;') = o, x(i + i') -+- Y(^ + v)+ i^(c + C) = o.
Entre la première et les équations (i) et (a) on peut éliminer Ç', ïj', C ainsi que \, ij., v, et l'on obtient l'équation suivante de la surface S :
De la seeonde résulte la proposition suivante :
Étant donné un hexaèdre quelconque appartenant à une surface du second ordre, et ayant pour centre le point M, le plan mené par le centre O de cette surface perpendiculairement au rayon OM passe par les milieux des dix diamètres de l'hexaèdre.
o. Étant donné un couple de points eonjugués (^, Tj, ^', V) de la surface S, les équations (3), en y considérant X, Y, Z eomme des coordonnées courantes, représentent la droite A associée aux deux points conjugués.
D'où les propositions suivantes :
La droite A associée à un couple de points conjugués { l', V) de la surface S est située dans le plan mené par le centre de (a surface du second ordre perpendiculairement à la droite qui joint ce centre au milieu du segment PP'.
Toutes les droites A sont doublement tangentes à la sur~ face 0 lieu des centres de courbure de la surface du second ordre.
6. La surface polaire réciproque % étant du quatrième ordre, il en résulte que, par un point quelconque M de l'espace, on peut mener vingt-huit droites doublement tangentes à 0 ; ces vingt-huit droites se composent des trois groupes de droites suivantes ;
1 " Les six normales menées du point M à la surface ;
a" Les six droites A se croisant en ce point, et qui sont les
ABAïasiES SUE
associées des dix couples de sommets opposés de l'hexaèdre ayant pour centre Je point M;
3° Douze autres tangentes doubles situées sui' un cône du troisième oi'dre et formant un. groupe de Steînei-.
7. Les surfaces réglées, formées par ie= normales que l'on peut élever aux différents points d'une conique située sur une surface du second ordre, constituent un groupe de surfaces remarquables, étudiées d'abord par M. Chasies et comprises comme cas particulier dans la famille des quadrispinales ; il importe de distinguer parmi elles celles dont la base est située dans un plan langent à la surface S; on voit, d'après ce qui précède, que ses génératrices se rencontrent trois à trois en un même point d'une droite fisc.
