SUR LES DROITES

A <.A SIIIF^CË LIEU DES CEiVTUES DE COUIIBËRE D'INE SUUPACE DU SECOND OUDRË.

Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences; 1S74

1, Quelques considérations géométriques 1res simples permettenL d'établir et de compléter, sur certains |>oints, les propositions que j'ai en l'honneur de présenter à l'Académie relativement aux normales que l'on peut mener d'un point donné à une surface du second ordre.

Étant donnée une surface du second ordre S, les droites perpendiculaires à leur polaire relativement à S forment un complese remarquable du second ordre; elles rencontrent évidemment S en deux points tels que les normales se croisent en un même point.

Considérons un triangle ABC situé sur S, et tel que les trois normales en ces points se rencontrent en un même point M; les côtés du triangle sont circonscrits à la conique du complexe située dans son plan, et ses sommets sont situés sur la conique K suivant laquelle te plan coupe S; le pian doit par conséquent couper S suivant une conique dans laquelle on puisse inscrire un triangle circonscrit à la conique du complexe, et, par suite, il enveloppe une surface. Remarquons maintenant que, d'après le théorème de Poncelet, on peut construire, dans le plan, une infinité de triangles tels que ABC; par suite, la surface réglée formée par les normales menées aux différents points de K, ou, en me servant d'une expression déjà employée par M. IMannheim, la noiv malie ayant pour directrice K., a une ligne triple qui, puisque la normalie est du quatrième ordre, est nécessairement une droite i.

Il est bien clair que, puisque, des six pieds des normales que

^EOONO OnDRK. SGg

]'on peut abaisser de chacun des points de 4, trois décrivent la conique K, les trois autres décrivent une autre conique R', et l'on voitqn'une droite telle que i peut être définie par cette propriété, que le lieu des pieds des normales menées de chacun des points de la droite à la surface se décompose en deux coniques (').

Je vais maintenant élabhr que tontes ces droites A sont doublement tangentes à la surface lieu des centres de courbure de S.

2. Considérons, en général, une surface quelconque S et sa développée 6; a désignant un point quelconque de Q, je représenterai par A le point correspondant de S, c'est-à-dire celui pour lequel une des sections principales a pour centre de courbure A.

Cela posé, soient D une droite quelconque et K. le lieu des pieds des normales que l'on peut, de cbacun des points de D, abaisser sur lu surface. En laissant de côte, [>our un instant, le cas où D serait normale à S, je ferai les remarques suivantes au, sujet des points de rencontre de celte droite et de 0.

Si, en tin de ces points A, la droite traverse la développée, la courbe K ne présente aucune singularité au point correspondant «, et elle est tangente en ce point à l'une des lignes de courbure.

Si, en un de ces points B, la droite touche la développée, la courbe K présente un point double au point correspondant b, et les tangentes, menées aux deux branches en ce point, diflerent généralement des tangentes aux lignes de courbure.

On sait enfin que, si ia droite était l'une des normales de la surface S touchant la développée en C et C, la courbe K présenterait, au point correspondant c, un point double dont les deux branches toucheraient les deux llg^nes de courbure.

De là résulte une dépendance mutuelle entre les singularités de la courbe K et les particularités des divers points d'intersection de la droite D avec la développée : ainsi l'on peut, en particulier, énoncer les propositions suivantes :

Le complexe des droites tangentes à la dé'^elQppée se coin-

(I) Depuis que ma première Note a été Écrite, j'ai reconnu que I ci-dessus énoncé est clù k M. Desboves, qui a aussi étudié les droite Nouvelle théorie des normales à une sur/ace du second degré.

pose de toutes les droites pour lesquelles la courbe K possède un point double.

Si l'on fait abstraction des normales à la surface, la congruence formée par les droites doublement tangentes à la déi'eloppée se compose de toutes les droites pour lesquelles la cowbe K. possède deux points doubles.

3. Pour faire l'application de ce qui précède à la surface du second ordre S, je remarquerai que la courbe K est alors une Lfquadratique gauche qui présentera deux points doubles dans deux cas différenls.

1° En premier lieu, la courbe K peut se décomposer en deux coniques, et l'on obtient les droites i dont j'ai parlé plus haut.

Par chaque point de l'espace, comme je l'ai fait remarquer dans ma précédente'Communication, passent dix droites A.

2° En second lieu, la courbe K. peut se décomposer en une cubique gauclie et une- génératrice de S,

Si l'on considère le pai-aboloïde formé par les normales le long d'une de ces génératrices G, toutes les génératrices de ce paraboloïde de même s yslème que G donneront des droites |jour lesquelles cette décomposition a lieu, et on les obliendra toutes en considérant l'ensemble de tous les paraboloïdes normaux le long des diverses génératrices.

La congruence qu'elles forment se compose donc de deux congruences distinctes : l'une composée des génératrices des paraboloïdes normaux le long de toutes les génératrices d'un même système de S; l'autre composée des génératrices des paraboloïdes normaux le long des génératrices de l'autre système.

Par chaque point de l'espace passent six droites appartenant à chacune de ces congruences et situées sur les paraboloïdes normaux le long des douze génératrices qui passent par les pieds des normales que l'on peut abaisser du point donné sur la surface.

-4. En. résume, on voit que les vingt-biiiL droites doubleraeiiL tangentes à la développée, que l'on peut mener par un point M do l'espace, se distribuent en quatre groupes :

i° Les six normales que l'on peut mener de ce point ;

2° Les dis droites A;

3° Six droites situées sur des paraboîoïdes normanx le long de sis génératrices d'un même système de S;

4° Six droites situées sur des parabolo'ides normaux le long de six génératrices de l'autre système.

La dé terminât ion de ces vingt-huit droites dépend uniquement de la résolution de l'équation du sixième degré qui donne les pieds des normales.

S. Je ferai remarquer, en terminant, que les considérations qui précèdent s'appliquent à d'autres surfaces qu'à celles du second ordre.

On peut énoncer, en particulier, celte propriété des surfaces

Si l'on considère le paraboloïde formé par tes normales d'une surface réglée le long d'une génératrice, non seulement toutes les normales sont doublement tangentes à la développée de la surface, mais encore il en est de même de toutes les génératrices de Vautre système de ce paraboloïde.

SUR L'APPLIGATIOM