Posons

0=(a,p,-r, ...jX,ix)"-S

la comparaison des formules (4) et (4') donne immédiatement les relations suivantes :

[ da db , .,,, de , .

^^^ Wy-"' ^-'"-)?- 3?-'»-^>-'- ■■■•

\ da db "^"^ ft

\ dx ' dx ' dx ' ' '

qui permettent d'exprimer les fonctions k, p, y, ... au moyen des

(') Ici, comme dan? toute la suite de ce Mémoire, je désigne simplement s

dérivées partielles des coefficients de U; mais, comme je le montrerai dans la suite de ce Mémoire, elles nous seront surtoul utiles pour exprimer ces dérivées en fonction des coefficients de II.

3. Soitune courbe K' de classe n' et ayant pour équation mixte V()i, [x) = o; étant menée une tangente à cette courbe, pi'oposons-noos de trouver le lieu des points M où elle est coupée par sa polaire.

En désignant par w ;= o l'cqualion d'une de ces langentes, je remarque d'abord qu'en désignant par V et ,w' les cooi-données COnranteSj l'équation mixte de sa polaire est, en vertu de l'cqualion (5),

son équation en coordonnées cartésiennes est le discriminant (par rapport à )>' et \i.') de l'équation précédente. Le point M, satisfaisant à l'équation w = o, satisfera donc à l'équation A = o, idésignant le discriminant du polynôme uUiÇk', [a') — cUi (X', jj.').

Le coefficient angulaire de la tangente est d'ailleurs -^ = '^; l'équation du lien chercbé s'obtiendra donc en éliminant À et [j. entre l'équation V(X, u.) ^ o et l'équation A ^ o, les variables a et c ayant été préalablement remplacées par a et —X dans le polynôme A.

D'où la proposition snivanle :

ThéohëmeL — En désignant par U(X, [j.) ^ o et V(X, ij.) ^ o les équations mixtes de deux courbes K et K', on obtiendra l'équation, du lieu des points où. les tangentes à¥J sont coupées par leurs polaires relativement à K, en éliminant \ et )J. entre l'équation V(X, [j.) = o et Véqualion A(X, ja) = o, A désignant le discriminant pris par rapport à V et tx' du polynôme -, dV rfU

^rfV + i^rf/-

Il est clair que les considérations précédentes s'appliquent également aux polaires des divers ordres relativement à la courbe K ; on peut donc énoncer celte proposition plus générale :

Théorème II, — En désignant par U(X, |a) ^o et V(X, ^) ^ o

38i cÉoMÉiniE.

les équations mixtes des deux courbes K et K', on obtiendra l'équation du lieu des points où les tangentes à K' sont coupées par leurs m'^"'^' polaires relativement à K, en éliminant X et ^;. entre l'équation V(X, \i.) = o et Pécjuatîon i(î., j^) =^ o, A désignant le discriminant pris par rapporta X' et p.' de l'émanant

6. Soit, poiii' faire une application siinfiie da théoicine précédent, une courbe de quatrième classe K.', dont l'équation mixte

En considérant la première polaire, on voit que A est le discriminant du polynôme («X-|- i[A)V=4- 3(6). + C|^)X'-^' + . . ., discriminant qui est de la forme /lïU 4- çSH, en désignant par H le hessien de U, et par T et S son invariant cubique et son invariant quadratique.

Par suite, l'équation du lieu des points où les tangentes à K.' rencontrent leurs polaires s'obtient en égalant à zéro le résultant de U et de pTJJ -+- ^SH, c'est-à-dire (S'— 27T=)^S'.

On sait d'ailleurs que S^ — a-T-^ o est l'équation de K' en coordonnées cartésiennes et que S :^ o est l'équation de la courbe du quatrième ofdre S, qui passe parles vingt-quatre points de rebrousscment de K' ; de là la proposition suivante :

Théouîsme III. — Etant donnée une courbe de quatrième classe K*, une quelconque de ses tangentes est coupée par sa polaire en six points, dont deux sont confondus au point de contact; les quatre autres points d' intersection décrivent, lorsque la tangente se déplace, la courbe de quatrième ordre S , qui passe par les vingt-quatre points de rebroussement de K'.

Réciproquement, si, par un point M rfeS, on mène les quatre tangentes à R', leurs polaires relativement à cette courbe passent par M.

7. L'application la plus importante du théorème il est relative

au cas de la polaii-c conique ; A est alors Je cliscrlnimant de

c'est-à-dire le hessien de U; d'où la proposition suivante :

Théorème IV. — En désignant par U(/, jji)^o et par V(X, ja) = o les équations mixtes de deux courbes K et K', par H(X, [a) te hessien de U(Â, [*), l'équation du lieu des points, oii les tangentes à K.' sont coupées par leur conique polaire relativement à K, s'obtient en égalant à zéro le résultant des polynômes H{)v, \i.) et V()., [x).

En particulier, soit M un point du plan ayant pour coordonnées ^ et vi; en posant pour abréger, comme je le ferai toujours par la suite,

l'équation mixte de ce point est

XY — |iX = o; d'où cotte conclusion :

Le lieu des points où les diverses droites qui passent par un point (^, ï|) sont rencontrées par leurs coniques polaires, relativement à la courbe U(>,, ^)=io, a pour équation

On a ainsi l'interprétation géométrique du Iiesâien de la formel!; quanta l'équalion U(X, Y) ^ o, elle représente, comme on le sait, l'ensemble des tangentes que l'on peut mener du point (5, ,0 à 1. coarbe.

8. Considérons la courbe K. ayant pour équation mixte U(X, ^) = o; si une droite se meut langentiellement àla hessienne de cette courbe, sa conique polaire se compose de deux points, ou encore, si on la considère comme une courbe du second ordre, de la droite qui joint ces deux points, cette droite étant comptée deux fois. Le lieu des intersections des tangentes à la hessienne avec leurs coniques polaires est donc une courbe double, la caj-

utc permeUra d'oblcnir son

leyenne de K; la proposiut équation :

Théorème V. — Etant donnée une courbe K ayant pour équation mixte U(X, ^) ^=o, en désignant par H()., ji) le he.isien de U et par W(X, ]x) = o l'équation mixte de la hessienne de K., si l'on forme le résultant de H()., jjl) et de W()., [x), ce résultant est un carré parfait h? et R ^^ o est l'équation cartésienne de la cayleyenne de K.