CHAPITRE PREMIER

1. Dans ce Mémoire, je rapporterai les figures que j'aiira considérer à un Iriangle de référence donl les côtés auront resp livement pour équations

Dans le Lut de simplifier le langage (ce qui ne dimiiine en rien la généralité des résultats obtenus), je supposerai que ia droite s ^ o coïncide avec la droite de l'infini, en sorte que je supposerai toujours z égal à l'unité, ainsi que toutes les variables analogues s', Ç, C ..- que j'aurai occasion d'inlroduire; je les mettrai néanmoins en évidence toutes les fois que cela sera nécessaire pour la clarté ou la simplicité des formules.

Cela posé, iix -^ s-y -\- W3-=- o désignant l'équation d'une droite moLile et F(«, »', tv) une forme ternaire, homogène et du degré n, si les paramètres w, c et w sont liés entre eux parlarela-

la droite enveloppe une conrbe de n'"""' classe K; dont l'éqtiation (i) est l'équation tang^enlielle.

Soit {x,y) un point quelconque dit plan et y le coefficient angulaire d'une quelconque des tangentes que l'on peut menerde ce point à la courlje K; cette langenle, en désignant par X, Y , Zi les coordonnées courantes, a pour éqiiation

,xX-).Y + i,j,-[i,r = oi On en déduit la relation

qui a pour racines les coefficients ang-ulaires des n tangentes qno l'on peut mener du point donné à la courbe. Si l'on pose

U est une l'orme binaire du degré n par rapport aux variables }, et ik, dont les coefficients sont des polynômes du degré n en x ely; celle forme satisfait d'ailleurs évidemment à l'équation aux différences partielles

, rfU du

'^•TF^^^'-y,

Je dirai que l'équation U()., [J-) = o est Vécjualion mixte de ia courbe K. J'ai déjà développé quelques-unes des conséquences les plus immédiates que l'on peut tirer de cette notion dans un Mémoire publié dans le Journal de Mathématiques pures et appliquées {^), et je rappellerai à ce sujet la proposition suivante, dont je ferai un usage continuel :

Soit un nombre quelconque de. courbes représentées par les équations mixtes

si l'on considère un invariant quelconque! des formes f^,/^^ (') Mémoire de GÉomélHe analytique, i' strie, t. XVII, 1%-/:.

/"a, . . . , l'équation I = o représente une courbe dont le degré est égal au poids de l'invariant.

Il est utile ici de remarquer que, si létailun polynôme de degré inférieur au poids de l'invariant, relativement aux variables x ely, on devrait, en rendant le polynôme homogène, introduire comme fadeur «ne certaine puissance de s, en sorle que la courbe I ^ o contiendrait un certain nombre de fois la droite de l'infini.

2. Le problème principal, qne l'on doit résoudre pour employer utilement les équations mixtes dans les questions de Géométrie analytique, est le suivant :

Étant donnée une courbe R ayant pour équation tangentielle F(«, v, w)-=^o et pour équation mixte U(X, [j.) = o, déduire de celte équation mixte, de ses ùn'ariants et des contrevariants de la forme F, les équations mixtes des courbes dont les équations s'obtiennent en égalant à zéro les divers covariants de F.

El tout d'abord je m'occuperai, tant à cause de leur simplicité qu'à cause de leur importance, des covariants doubles qui rcpri'sentent les polaires des divers ordres des droites du plan par ra|)port à K.

3. Dans tout ce qui suit, en désignant par Z une fonction liomogène quelconque, du degré n, des variables), et ja, jereprésenterai, selon l'usage habituel, par Z) et Z; les quantités — -tj- et — v^i et de

Œ)eparZH,X(.,'/...lesquanlilés^^^^;^^5j;^, -j^^ I d'-Z

D'une façon analogue, je représenterai par F,, F.; et F^ le

, , „ 1 ■ 1 , i d¥ i dV i dV

résultat que I on obtient en remplaçant dans - -r-y - rj"' " -n~

1 V s n du, )i de II dw

les variables u, v et (v par j/., — X et 't.y — u-x.

Fn, F) 2, ... représenteront de même Je résultat que l'on

obtient en faisant la même substitution dans -^— 7'

n{n — i) du dv

Cela posé, élfint donnée une droite ayant pour équation

Vcquation mixte de sa première polaire est )(F,-i- yFi-i-.vF3=o.

En difierentiant successivement par rapport à À, |a, ^ et y la relation (2), on obtient les relations suivantes :

(3) Ui = — F2 + 7F;,, U^=. Fi — 3:Fa,

n ,« dx n'k dy ' :nt par IJ^j ;^ o l'équation de la polaire { ' ) de

la droite w ^ o, on a

La polaire de la droite de l'infini a évidemment pour équation F3 = o; en posant