LA THÉORIE DES BOB
l'Infini, l'équation (4') donne H ^ Fj ; d'où les relalions
En posant d'ailleurs Fas^ro, on sait que cr^oest l'équation mixle de la deuxième polaire de la droite de l'infini. Des relalions qui précèdent résulte l'identité
I Fa!— 2^Fîj4-J^F53
= F,î+a^Fî3-f-jF,s — a^Fjs I — Pia-H^Fas
10 — 1 r I I Fil F„ î
~ 1 o ,-c X F,j FiB I o o 1 I I F,3 Fj, I
-F,2-^-3^F,3•^-7F„— syFjj —Fu+yPu Fn — aa^Fiî-i-a^'F^a Fu-a^Fj,
Fia-a^Fss F33
L'équation mixte de la hessienne s'obtient en égalant à zéro le déterminant qui précède; d'où ta proposition suivante :
Théorème 'VI. — Bn désignant respectivement par U{)., f'-)=o, WÇk, [;.) = o e( C7()>, |ji) = o les équations mixtes d'une courbe, de la première polaire et de la deuxième polaire de la droite de l'infini relativement à cette courbe, l'équation, mixte de la hessienne de la courbe est W(X, [t) z= o, W désignant le polynôme
U,5 Uï2 IIî .
I tl, II. W I
10. Cette forme remarquable de l'équation mixte donne lieu à diverses conséquences importantes que l'on peut en déduire, sans que l'on ait même besoin de déterminer l'expression des coefficients de n et tn.
En particulier, je citerai les deux propositions suivantes, relatives aux courbes de troisième et de quatrième classe :
Théorème- — En désignant par [a, b, c, d)=zo {'•') l'équa-
lion mixte d'une courbe de troisième classé K. et par ia', b', c', d') =■ o Véquation mixte d'une courbe quelconque de même classe K.' tangente aux neuf tangentes de rebroussement de la première, si l'on forme l'invariant
1 = ail!~^bc'-+'icb'—da\ ■ ce polynôme est identiquement nul.
Démonstration. — Comme I est un combinant des deux formes (a, b, c, d) et (a', b', c', d'), il suffit de démontrer la proposition pour l'une quelconque des courbes du faisceau (K, K'), par exemple pour la hessieniie. Supposons (a, b, c, d) réduite ù ia forme canonique Â^+ ^', on aura simplement I ^ d'~a'. Or, en posant
1 déduit du théorème précédent
d'où par s
La proposition est donc démonlrée.
Théouème. — -É'/i désignant par U = (a, b, c, d, e) = o l'équation mixte d'une courbe de quatrième classe K et par (A, B, C, D, E, F, G) le covariant sextique de U, par {a', b', c', <f, e', f'f ^)= o l'équation mixte d'une courbe quelconque de sixième classe R' tangente aux vingt-quatre tangentes de rebrousse ment de K; si l'on forme l'invariant I = Â/— 6B/'+i5Ce'— 2oDaf'+i5E(;'— 6Fè'-i-Ga', ce polynôme est identiquement nul.
Démonstration. — La hcssicnne étant tangente au\ vingt-qiialre
craindre aucLinc ambiguïté, je pose, pout abroger.
Langenles de rebroussemenl de K, l'équation mîxle de K' Sera de Ja forme W(X, [i)+U()-, ^)Y{\ l>.), V()., y.) = o étant l'équalion mixte d'une conique quelconque.
Si nous supposons U réduite à sa forme canonique
I = (..-9»»^)(i'-/'). Or le théorème V donne la relation
I >,^-|- m[X' 2m),;j; aX^-H 5pX[J: -(- -fji^ 1
en posant, pour abréger,
n=(a,|3,Y,S), 7^ = (P', Q', R') et V = (P, Q, R). On déduit de là, après quelques réductions faciles, 6 &' - 6/' = a (J -(- a HiQ — 4 ?-,'
La proposition est donc démontrée.
11. On peut donner à la formule énoncée dans te tlicorème V une forme un peu plus générale et d'un usage plus commode pour Jes applications.
Soient n„=o et Wm^o les équations mixtes de la première polaire et de la deuxième polaire de la droite
on aura, d'jiprès la formule (3),
On en déduit, en désignant par IT^j, U„^.^, ... les quantités analogues II, et Ho, niais relatives a 11^,
do, =an(j,î— cnu. + uEi',
ro':= o étant l'équation mixte de la polaire de la droile de l'infini, relativement à la. première polaire de la droite w = o, ou, ce qui est la même chose, de Ja polaire de celte droite relativement à la première polaire de la droite de l'infini. On a donc
et, par sailc,
(5') ciu= ((n„,a— i'ri„,:+a>{i(ns— i'n,)-+-<«=frr.
Ul!
„U,2— <'lill+")II,
Uî,
«U,5— <'Ui,-i-wIK
n„.s un^.,-
-vU,„,i-ho^(uUi—vUi
Ui,
Usî
lia
-yUii-l-<..n,
„Us2— nUiî-t-uinj
(ittï-
u,s ni [
u,. ti. 1 =«
>"-VfCk,y.);
d'où la formule suivante, qui permet d'exprimer le polynôme W(X, jjl) au moyen des deux premières polaires d'une droite quelconque (O = ua: + i'f -+- i-vz = o :
I Vn u,î n„,, I
(7) (OnV(X,^L)= llij UiS 11,0,8 =11^11—1!,
et en désignant par H le hessier. de U.
12. J'ai montré (théorèric IV) que le résultant de li et de W était égal à 0*, 0 désignait le contrevariant de la forme primitive F{[i, t>, «■) qui, égale à zijro, donne l'équation de la cajieyenne;
on déduit de ce qui précède
le résullant 0^ est donc le résultant de II et de ; d'où la proposition suivante :
Théorème. — ■ ■Si l'on forme le résultant du polynôme H et ~ Q, ce résultant est un carré parfait dont la racine est égale à w-'"~^'0.
Remarque I. — Le premier terme de Q est d'un poids égal à 2, le dernier terme de H d'un poids égal à 3(n — i) : leur résullant est donc d'un poids égal à 4(« -— 2) + 6(« ~i)(n — a), et, en vertu de la proposition l'ondamenlaie donnée (1), 0 est du degré
C'est en effet, comme on le sait, le degré de la cayieyenne.
Remarque II. — La proposition précédente donne une infinité de formes pour 0, puisque u, c et w sont arbitraires ; on peut, par exemple, remplacer ces quantités par les dérivées partielles d'un contrevariant quelconque $ de F, et la proposition précédente donnera une expression de O^'""^'®.
Remarque III. — On peut trouver d'autres expressions de 0 souvent plus faciles â calculer. On a, par exemple, identiquement
ûU = [nu.,().Ui!'bfiU„) — n„,5()>u,i-f-|iUi,)j^— H(>.n„,,-H-[in„,2)'-
Le résultant de H et de tiU, c'est-à-dire (w='"-='0i)-, en désignant par A le discriminant de U ('), est donc égal au résultant de H et de
fn„,,(XUi5-i-|jU3,) — nio.'-C'Uii-HiJ.UiOl'- D'où cette conséquence :
Si Von forme le résullant de H et de ïla^iUa^ !"(„,, sU,, ce résultant est égala w^'"~^'40.
