CHAPITRE iir
DÉTERMINATION" DE 1,'ÉQIATION IIIIXTE DE L.1
13. Les formules (6) données précédemment (4) permetleni' d'exprimer les coefficients de l'équation mixte de la polaire de la droite de l'infini (et par suite Je la polaire d'une droite tjuelconque) au moyen des dérivées partielles des coefficients de U; mais il est préférable d'introduire les dérivées partielles d'un certain noftibre d'invariants de celte forme.
Je m'appuierai sur la proposition suivante :
Théorème Vil. — Etant donné un invariant quelconque ï de la forme U, en désignant son poids par i, on a les deux écjua-
^db
où {a,b,c, ...)=: o est l'équation mixte de %..ei (a, ^,y, ..,)^o l'équation mixte de la polaire de la droite u ^=; o e( oii j'ai posé, pour abréger,
dl
Démonstration. — Des formides (5) et ((î) on déduit facilement les relations suivantes ;
''^--"dy^"
.{'ii/ — va).
vb).
n-,:)(ud-
vc)-i-...,
par suite, on a
^ dl,
dl ,dl — 'li-'^-dc-
n di
■■ \"db '^ de '^■■■J
ou encore, d'après les propriétés bien connues dos invariants,
dl __ ( d\ 4-^ , ^ \ -,
"^'dx^ {'^'db^'^^'dc'^ ' dd'^'-')^"'' '
d[ dl ^d^ , ^^ rf£
db 'de ^ dd ' ' ' ' dx
L'aiiUc formule se démontrerait de la même manière.
14. Dans l'application des formules précédentes, je considérerai deux cas suivant que la courbe K est de classe paire ou de classe impaire.
Dans le premier cas, le nombre des coefficients a, [î, ... inconnus est pair; considérons - invariants I, 1', I", ... de la forme U et désignons par r,, l), , r,-, l))-, ... les polynômes formés de la façon indiquée au moyen des dérivées partielles de ces invariants : nous obtiendrons n équations linéaires de la forme (8), qui permettront d'exprimer les coefficients inconnus en fonction des coefficients de U et des polynômes r,, 1),, r,', . . . .
L'introduction de ces polynômes se trouve justifiée par le fait important que le polynôme !]„ devient alors un covariant multiple de U, les divers couples de variables étant X, |J.; E,, l), ; ....
