THEOEIE DU FLUX ET DU REFLUX DE LÀ MER
1. Reprenons les équations générales du mouvement de la mer, que nous avons données dans le dernier chapitre du premier livre. Si l'on prend pour unité le demi-petit axe de la terre , et que l'on représente par y la profondeur de la mer, supposée très-petite par rapport à ce demi-axe; y étant une fonction de et de 'CT, 6 étant le complément de la latitude d'une molécule dm, de la surface de la mer, dans l'état d'équilibre qu elle prendrait sans l'action du soleil et de la lune , et ^ étant la longitude de la
molécule dans cet état , cette longitude étant comptée d'un méridien fixe sur la terre; soit aj rélévation de la molécule dm audessus de cette surface d*équilibre, dans Tétat de mouvement, et supposons que par cet état, 6 se change dans Ô-f-aiz, et tsr dans ©-t-au; enfin, soit wf le moyen mouvement de rotation de la terre et g la pesanteur; on aura, par le n'' 36 du premier livre, les deux équations suivantes,
(d.yu\ [ d.yv\ ytt.cos.6 , v
'~dr)~\l[^) imT"' ^^l
ddA (-TTr) — ^^\jt)' ^^^•^- ^^^-^ -+-d©.|sin\ô[-^|^-2nJ^|.sin.0.cos.0. =^ — gAy-i-dV, (2)
les différences ày et dV étant uniquement relatives aux variables et©. La fonction adF' exprime, comme on Ta vu dans le n*" 35 du premier livre, la somme des produits de toutes les forces qui troublent l'état d'équilibre de la molécule dm, par les éléments de leurs directions, en ne conservant que les différentielles dd etd^. Ces forces sont d'abord l'action du soleil et de la lune: on aura la partie de ad F' relative à cette action, en divisant respectivement la somme des masses du soleil et de la lune par leurs distances à la molécule dm, et en différentiant ces quotients par rapport aux variables 6 et «. Or, si l'on nomme r la distance d'un astre L au centre de la terre, v sa déclinaison, et y^ son ascension droite; sa distance à la molécule dm sera, par le n*" 23 du troisième livre, à très-peu près,
\/r* — 2 r.jcos.ô.sin.v-|-sin.6.cos. v. COS. (nf-f-ty — 4')j-+-i 1
l'angle nf-j-tsT étant compté, comme l'angle \^, de l'équinoxe du printemps; ainsi, pour avoir la partie de adl^' relative à l'action
de l'astre L, il faut difFérentier, par rapport k 6 et k ts, h fonction
y r*— ar.jcos.ô.sin.v + sin.ô.cos. V. COS. (nf+«r— +)j+i
Mais comme on suppose le centre de gravité de la terre immobile, il faut transporter en sens contraire, à la molécule dm, la force dont ce centre est animé par Faction de L; et l'on a vu, dans le n** 23 du troisième livre, que cela revient à retrancher de la fonction précédente celle-ci ,
1 — ;.jcos.0.sin.v-l-sin.0.cos.v. COS. (7if-f-« — y^/)];
on aura donc la valeur de ad F' dépendante de l'action de L, en différentiant, par rapport à et à tir ^ la différence de ces deux fonctions; différence qui, par le numéro cité du troisième livre, peut se développer dans une suite descendante par rapport aux puissances de r, telle qu'en la désignant par
«ZW aZW aZW aZW
etc.
Z^^ est une fonction rationnelle et entière de jx, \/i — jx*.sin.^ et yi — (ïTcos.tiy, du degré i, assujettie à l'équation aux différences partielles,
o=i-l — -Aé]lJi\^\J^l1 ^ui^,\z'^\
du ) i—nn ^ '
|x étant égal à cos.B.
ad F' se compose encore de l'attraction, sur la molécule dm, de la couche aqueuse dont le rayon intérieur étant Tunité, le rayon extérieur est i-\-cty, et il est facile de voir que, pour la déterminer, il faut diviser chacune des molécules de la couche par sa
distance à la molécule dm, et difFérentier la somme de ces quotients, relativement kd ei^. Il faut, de plus, transporter en sens contraire, à la molécule. Faction de cette couche sur le centre de gravité de la terre; mais il est visible que ce centre ne changeant point par l'attraction et par la pression des diverses parties de la terre, cette action doit être ici négligée.
2. Considérons d'abord le cas dans lequel la terre n'aurait point de mouvement de rotation, et où l'on aurait, par conséquent, /î = o; supposons de plus la terre sphérique, et la profondeur y de la mer égale à une constante /, et déterminons les oscillations que doit y exciter l'action du soleil et de la lune. L'équation du numéro précédent devient, en y faisant cos.0 = (x et y=/.
l'équation (2) devient
dy
oronalT^|= — y/i — |x'; on aura donc, en comparant les coefficients de dd et de d'^s,
ddv
!lU) ^ 1^ .
partant,
■m-v^) ( ^'-'■■'■(1)1 , A'-^iwi
, /ddv\ (ddy\ ( ddV' \
d'Or j "* 1 — f*l^ 1 — l^f*
L'expression précédente de y donne
j (ddu\ i , (ddv\
(ddy\,i '\-dF)'^f^\ /'KdF) )
on aura donc
( dyi ) 1 — j^f*
Pour intégrer cette équation , nous ferons
^^y(o)+7(.)^7{.)^^y(3)^ etc.
y{o) y(i)^ y(«)^ ^j^ étant des fonctions rationnelles et entières de (X, \J\ — (x\ sin.'GT, et \J \ — (x*. cos.'cy, telles que Ton a généralement
I dit ) i—ft(t. ^ '
La partie de V relative à la couche sphérique fluide dont le rayon intérieur est l'unité et dont le rayon extérieur est i-+-aj, sera,
