PREMIÈRE PARTIE, LIVRE QUATRIÈME

Reprenons maintenant l'équation [^) du n° 3, en y supposant 5 = 2, et

Supposons de plus que a soit exprimé par la suite,

P"\ P^^\ etc. étant des fonctions rationnelles et entières de jx% telles qu'en désignant par Y^^-f^ la fonction (i — fi*).P^*^ '^ on ait

La partie de a relative à l'action de la couche aqueuse dont le rayon intérieur étant l'unité, le rayon extérieur est i-haj, sera, par ce qui précède,

^iLiziî^i± p{o).^j p(»i 4± p(*) I ' p(«/-«)|

La partie de a relative à l'action de l'astre L est . (i — jx*) ;

on aura donc

^ ; A 9pr \ (4/4-o.p/ (

Supposons que les constantes indéterminées qui multiplient chacune des fonctions P^"', P^*\ etc. soient telles que la fonction --r-.iia — (t")- (1 — f^*) soit divisible par i' — 4/i*(x', ce qui

ne demande qu'une seule équation de condition entre ces indéterminées; alors le second membre de l'équation (4) n'aura plus

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de dénominateur: de plus il sera divisible par i — (x*, comme le premier; car, en supposant a---(i- fi').F, et ne considérant que les termes qui ne sont point divisibles par i — (x*, les trois parties de ce second membre deviennent

ou 4. {i--(i*).(]zF; et par conséquent leur somme est divisible par 1 — (X*. En substituant, pour a et a', leurs valeurs précédentes dans l'équation (4), et en la divisant par i — (xS la comparaison des coefficients des puissances de (x donnera y équations qui, réunies à la précédente, formeront ^-r-i équations de condition à satisfaire : le nombre des indéterminées, en y comprenant q, est pareillement/-} -i; on aura donc autant d'indéterminées que d'équations.

Pour avoir la valeur de (j, nommons Q.jx'^^* le terme le plus élevé en fi, de P^*^~^; le terme correspondant de a sera

(-rt.,^-^-.Q.(.-(^)^);

le terme correspondant du second membre de l'équation (4) sera

en régalant au terme correspondant du premier membre, ou à

Q. (i — (x*).(x*^~*, on aura

ainsi , en supposant la profondeur de la mer égale à

in^fi.

^•(-SFô:7)-(^^-'-/-'-t)'

on pourra déterminer, par l'analyse précédente, les «oscillations de la troisième espèce. Cette expression est différente pour les diverses valeurs dont i est susceptible; mais on doit observer

que i étant à fort peu près égal à 2/1, on peut supposer — r- =1,

et alors on a, pour la profondeur de la mer, la même expression que nous avons trouvée dans le n** 7, relativement aux oscillations de la seconde espèce; ce qui est nécessaire pour que cette loi de profondeur puisse être admise. On peut même faire coïncider cette profondeur avec celle que nous avons trouvée dans le n** 5 , relativement aux oscillations de la première espèce, en supposant f assez grand pour pouvoir négliger l'unité, eu égard à 2^*-+-/; mais nous avons observé, dans le n*' 6, que les résistances éprouvées par la mer dans ses mouvements rendent les oscillations de la première espèce indépendantes de la loi de profondeur de la mer, en sorte qu'il suffit de considérer les lois de profondeur dans lesquelles on peut déterminer à la fois les oscillations de la seconde et de la troisième espèce.

10. Nous avons remarqué, dans le n"" 8, que, pour satisfaire aux observations, il faut supposer la profondeur de la mer à fort peu près constante: nous allons déterminer, dans cette hypothèse, les oscillations de la troisième espèce. Nous supposerons de plus que r, \|/ et V varient avec assez de lenteur, par rapport aux variations de l'angle 2 7if, pour que l'on puisse les traiter comme

constants. Nous négligerons encore la fraction -, qui exprime le

rapport de la densité de la mer à la moyenne densité de la terre, rapport qui paraît assez petit, par les observations faites sur l'attraction des montagnes. Cela posé, en faisant

j=za. COS. (2 n/r- 2 tsy — '^'^j> on aura

aa = (xa — -r— — . (1 — a'j.cos-. v:

Téquation (4) du n** 3 deviendra donc, en observant que

On peut donner à cette équation une forme plus simple, en y faisant i — (x* = a;% et en supposant dx constant; on aura ainsi

1/ ^\ (dda\ (da\ (, • 2n* ) 6L ,

o=a;\(i— x*J.a.l-^-Yl— ^.a.l^l— 20&a. 4—^—1— .a;* H — ^.af.cos'.v.

Pour satisfaire à cette équation , nous ferons

Cette valeur substituée dans Féquation différentielle précédente, donnera d'abord, en comparant les coefficients de x\

i4^'^= -, — — cos^.v.

kr'g

La comparaison des coefficients de a;* donnera Téquation identique o=o; enfin la comparaison des coefficients de a;'^"*'*,^ étant égal ou plus grand que l'unité, donnera

o=it/-^ (2j.+.6/)— i^-'). (2/ -4-3/)-+- ^.A^.

On aura, au moyen de cette équation, les valeurs de il^'V-^^*^ etc. lorsque A^^'^ et A^""^ seront connus. En la mettant sous cette forme,