PREMIERE PARTIE, LIVRE CINQUIÈME

, jB-A) j. dN. coB.»-dN'.sin.6

, (C-jB) , \dN.sm.e+dN'.co^.e\ . ^ dN' ^\ ,^, dq+^—j — '.rp.dt^—' -j— î-.sin.^4--3 — .cos.^,> [u]

j [A-C) j. \dN.sm.e+dN\cos.e\ ^ dN' . J ar+^ — ^-^.pq.dt=-'- ^ ^.cos.^— -^— .sin.^.

U faut présentement déterminer les moments d'inertie A, B, C, et les valeurs de dN, dN' et dN\

2. Considérons d'abord les moments d'inertie. Soit R le rayon mené du centre de gravité de la terre à sa molécule dm; soit |x le cosinus de Tangle que R forme avec Taxe de Téquateur; soit encore tsr Tan^e que forme le plan qui passe par cet axe et par le rayon R, avec le plan qui passe par le même axe et par le premier axe principal : R . \/i — (i — jx*) .cos*7«, sera la distance de la molécule au premier axe principal; R . \/i — (i — jx*) .sin*7«, sera la distance de la molécule au second axe principal; et jR.\/i — (?^ sera sa distance au troisième axe principal ou à Taxe de Téquateur. Ainsi, le moment d'inertie d'un corps relativement à un de ses axes étant la somme des produits de chaque molécule du corps par le carré de sa distance à cet axe, et A, B, C étant, par le n* 26 du premier livre, les moments d'inertie de la terre, par rapport au premier, au second et au troisième axe principal, on aura

A =S . R\ dm . 1 1 — (i — (X*) . cos*. « ) ,

Bz=S.R\dm.\i—{i—(i').sm\^\,

C=S.R\dm.\i—ii'\,

les intégrales devant s'étendre à la masse entière de la terre. Maintenant on a

dm=R*.dR.d(i.d^; si Ton observe ensuite que les intégrales doivent être prises de-

puis jR = o jusqu'à la valeur de /î à la surface, valeur que nous désignerons par R, on aura

A=-^.S.R\dii.d^ .\i — (i — jx*). cos*. tsr } , B=^.S.R\d(i.d^.\i — (i — (x*).sin*.tsr}, C=^.S.R\dii.d^.\i—(i'\.

Supposons R^ développé dans une série de cette forme,

R^= f/c)-f- f/(»)-+- C/^*)-+- m^-+' etc.

U^'^ étant une fonction rationnelle et entière de jx, yi— jx'.sin.'®, et \/ 1 — jx*. COS. tsr assujettie à Téquation aux diflFérences partielles

,1, , /rft/«\) (ddU^^\ — i 1 — ^ ^ ^ H" -^^ ^ -+-i- (i-4-i).f/^^.

La fonction i— (i— jx*).cos*.© est égale à -f+ly— (i--jX(x).cos*.t5j; la constante y est comprise dans la forme U^*\ et la fonction y— (i— jXjxj.cos'.'CT est de la forme U^*\ puisqu'elle satisfait, pour U^*\ à l'équation précédente aux différences partielles. Pareillement 1 — (i — (x'jsin'.'CT est égal à yH-jy — (i — (x*) . sin*. « j , et le second terme de cette expression est de la forme U^^K Enfin la fonction i — (x* est égale à y -+- (y — (x*) , et la partie y — (x* est de la forme f/^'^; on aura donc, en vertu du théorème que nous avons démontré dans le troisième livre, n"* 12,

i=|.5.rffA.ci«.{|.f/^»J-f-||— (i— (A*).cos\«j.t/^^M, 5=|.5.rfft.rf«.i|.f/^-)-4-{|— (i— fi«).sin\tsr}.f/^*^j, C=l.S.d(i.d^.\\.W'^^{i—(i^).m^.

Les intégrales doivent être prises depuis jx= — i jusqu'à (x=i, et depuis « = jusqu'à «=2 tt, ce qui donne

A=^%.m^-^l.S.U^'Kd(i.d^.\i—{i—li').cos\^\, B=^%.W^^-+^\.S.mKdii.d^.\\—{i — (i').sin\^\, C=^%.W'^-^\.S.W'KdtL.d^.\i — (i'\.