PREMIÈRE PARTIE, LIVRE CINQUIÈME

La fonction V^*^ est de cette forme,

H.\j — |x*}-H/f' -(x-y/i — (x*.sin,©-h-//\jx.\/i— (X*. cos.«

-^-JÏ^(l — (1*) . sin,2^-\-H"\{i — (X"), COS. 2tar.

La considération des axes principaux donne, par le n** 31 du troisième livre,

JÏ'=:o, H'=o, H"':=o:

ces trois équations renferment toutes les conditions nécessaires pour que les trois axes soient des axes principaux. On aura ainsi

Si l'on veut que les trois moments d'inertie A, B, C soient égaux entre eux, on aura Hz=zo^ H'"'z=o^ et par conséquent U^^^=o: cette dernière équation satisfait donc à la fois aux conditions des trois axes principaux et à l'égalité des trois moments d'inertie; or on a vu, dans le n** 27 du premier livre, qu'alors les moments d'inertie sont égaux par rapport à tous les axes; la sphère n'est donc pas le seul solide qui jouisse de cette propriété. L'analyse précédente donne l'équation générale de tous les solides auxquels elle appartient, équation que nous avons annoncée dans le numéro cité du premier livre. On doit observer ici que ces résultats sont indépendants de la supposition que l'origine de R passe par le centre de gravité du sphéroïde, et qu'ainsi ils ont lieu quel qœ soit le point où l'on fixe cette origine dans son intérieur,

La terre étant supposée formée d'une infinité de couches variables du centre à la surface, le rayon R d'une de ses couches peut toujours être exprimé de cette manière,

flrz:.a-f-aa . I r^J-t- y^^-H r^^H- r<*^-+- etc. j ,

a étant un très-petit coefficient constant, et Y^'\ Y^*\ etc. étant des fonctions de la même nature que U^^\ U^*\ etc. c est-à-dire, qui peuvent satisfaire à la même équation aux différences partielles, et qui, de plus, peuvent renfermer a d'une manière quelconque. En négligeant les quantités de Tordre a*, on aura

R^=a'^ 5 aa^ I Y^'^-h r^*^-4- F») -h etc. j;

partant, si Ton conçoit un solide homogène d'une densité représentée par Tunité, et dont le rayon de la surface soit celui de la couche dont il s'agit, on aura, relativement à ce solide,

A=Y5 TT . a* -h (X. S. a\y ^*' . d(i.d^.\\ — (i — jx*).cos*.'CT(, 3=^-^ TT . a' -h-a,. S. a\Y^*K d(i. d^.\\ — (i — fjt*).sin\'CTJ, C = '^T^.a'-+'a.S.a\Y''\dfi.d^.\\ — {i'\.

En différentiant ces valeurs par rapport à a, et en les multipliant ensuite par la densité de la couche dont le rayon est R, densité que nous représenterons par p, p étant une fonction quelconque de a, on aura les moments d'inertie de cette couche; et pour avoir ceux de la terre entière, il suffira d'intégrer les moments de la couche par rapport à a, depuis a = o jusqu'à la valeur de a, relative à la surface de la terre, valeur que nous désignerons par l'unité. On aura ainsi

A ='^ % .S. p. d. a' -ha. S. p. d[a*Y ^^^) . dfi. d^.\j — (i — fi^).cos\^\, B='^Tr.S.p.d.a'-hOL.S.p.d{a'Y^*^).d(i.d^.\j^ — (i — (i').s\n\^l

la différence d. [a'y^*^) étant uniquement relative à la variable a.