PREMIÈRE PARTIE, LIVRE CINQUIÈME

lunaire fait participer le premier de ces deux mouvements aux inégalités séculaires du second. Il n'est point nécessaire, pour cette égalité parfaite, qu'à l'origine les deux mouvements de rotation et de révolution aient été égaux, ce qui serait infiniment peu vraisemblable; il suffit qu'à cette origine où nous supposons <=o, la vitesse p de rotation de la lune ait été comprise dans les limites

m-hmQ.K/ — ^--p — -' -4- etc. et m — mQ.K/ — ^-p — -' H- etc.

limites dont l'étendue est arbitraire à cause de l'arbitraire Q. Cette étendue est, à la vérité, fort petite à raison de la petitesse

de Q et de \/ '^ ., — ^; mais elle suffit pour faire disparaître

l'invraisemblance qu'il y a à supposer qu'à l'origine les mouvements ont été tels que, dans la suite, le moyen mouvement de rotation de la lune a constamment égalé son mouvement moyen de révolution.

La valeur de u exprime la libration réelle de la lune en longitude, libration qui n'est que l'excès de son mouvement réel de rotation sur son moyen mouvement. Cette valeur renferme d'abord l'argument Q. sin.jmf. \ / '^ ., — ^-hFJ, dont l'étendue est arbitraire; mais les observations ne l'ayant point fait reconnaître, il doit être peu considérable. Il en résulte que i / ' ^ ., — -

est un nombre réel; car, s'il était imaginaire, l'argument précédent se changerait en exponentielles ou en arcs de cercle qui, croissant indéfiniment avec le temps, pourraient augmenter indéfiniment la valeur de ii, ce qui est contraire aux observations. A la vérité, si J5 — A étant négatif, Q était nul, il n'y aurait, dans l'expression de u, ni arcs de cercle, ni exponentielles; mais la plus légère cause pourrait les y introduire : ce serait le cas d'un

état d'équilibre sans stabilité, ce qui ne peut être admis. B — A est donc une quantité positive, c est-à-dire que le moment d'inertie À de la lune est plus petit que le moment d'inertie B. Le premier de ces moments est relatif à Taxe principal de l'équateur dirigé vers la terre; car il se rapporte au premier axe principal, qui forme l'angle (^ avec la ligne des équinoxes lunaires, tandis que le rayon même du centre de la lune à celui de la terre forme l'angle v avec cette même ligne : or (p — v est toujours, par ce qui précède, un petit angle; ainsi le premier axe principal du sphéroïde lunaire est toujours à peu près dirigé vers la terre. L'équateur lunaire étant allongé dans ce sens , en vertu de l'attraction terrestre, le moment d'inertie A doit être moindre que le moment d'inertie B relatif au second axe principal situé dans l'équateur.

La durée de la période de l'argument précédent est égal à un

mois sidéral divisé par le coefficient i / ' - .; — - ; ce coefficient

étant inconnu, il est impossible d'assigner cette durée. Nous verrons bientôt que, dans le cas où la lune serait homogène, cette durée n'excéderait pas sept années; et que, dans le cas de la nature, la diff(érence des moments d'inertie de la lune, par rapport à ses trois axes principaux, est probablement plus grande que dans le cas de l'homogénéité. Cette remarque nous montre combien

le terme ,' \. — , que nous avons négligé ci-dessus, est

insensible.

Parmi les termes de Fexpression de u, il n'y a de sensibles que celui qui dépend de l'équation du centre de la lune, à raison de sa grandeur, et les termes qui ont un très-petit diviseur, et dans

lesquels, par conséquent, -r- €st très-petit. Jï.sin,II-hetc. est la scfmme des termes périodiques du mouvement vrai de la lune 4