PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

yT^ (x*. cos.tsT, et \/i — (X*. sîn.tsT^ du degré i; car il est clair que chacun des deux termes y^fr* et — t9^*' (f^* — i)» satisfait, pour y^'\ à l'équation précédente.

Il nous reste présentement à déterminer la partie de l'intégrale f [F. df-}- F .df -h etc.) qui résulte de l'action des corps étrangers. Soit S la masse d'un de ces corps, f sa distance à la molécule attirée, et s sa distance au centre de gravité du sphéroïde. En multipliant son action par l'élément — dfde sa direction, et en

l'intégrant ainsi, on aura -j. Ce n'est pas la partie entière de

l'intégrale f[F. df-{- F', df'-hetc.) due à l'action de 5 ; il faut encore transporter en sens contraire, à la molécule, l'action de ce corps sur le centre de gravité du sphéroïde. Pour cela, nommons t; l'angle que s forme avec l'axe des x, et \|/ l'angle que forme le plan qui passe par cet astre et par le corps 5, avec le plan des x et

des y. L'action -^ de ce corps sur le centre de gravité du sphéroïde , décomposée parallèlement aux axes des x, des y et des z\ produira les forces suivantes ,

— .COS. V, ^.sin.v. COS. \I/, ^.sin. v. sin.xl/.

En les transportant en sens contraire à la molécule attirée, ce qui revient à les faire précéder du signe — , en les multipliant ensuite par les éléments dx, dy, dz de leurs directions, et en les intégrant , la somme de ces intégrales sera

-. \x. COS. iH-j. sin. V. COS. >!/+ z. sin. v. sin.\|/ |+constante ;

la partie entière de l'intégrale f{F.df--hF\df-h etc.) due à l'action du corps S sera donc

■^ -.\x. COS. V +y. sin. V. cos. \|/ + z'. sin. v. sin. -^ \ -h constante ;

et comme cette quantité doit être nulle par rapport au centre de gravité du sphéroïde, que nous supposons immobile, et que, relativement à ce point, y devient s, et x\y, 2' sont nuls, on aura

constante = .

Maintenant/ est égal à

j {s. COS. V — xy-+- [s . sin. v. cos. y\/ — j )' - 1- [s. sin. v . sin. >!/ — ^')*} ' ;

ce qui donne, en substituant pour x, y, z, leurs valeurs précédentes ,

J y/5"— 2 5 r. jcos. v.cos.6+sin. v.sîn. 6.COS. («r— >^)j-rr'

Si Ton réduit cette fonction dans une suite descendante par rapport aux puissances de s, et que Ton représente ainsi cette suite ,

A.jp(o)+ Z:. p(i)+ !L[ . p(»+ !:! . pw 4. etc J ;

on aura généralement, par les n"' 15 et 17, pj,., 1.3.5 (21-1) (..__ 1.(1-1) t,. t.(t-i).(i-2).(i-.3) ^.., j

S étant égal à cos. v. cos. 6-+- sin. v. sin. 6. cos. (tar — y^^) ; il est visible d'ailleurs, par le n° 9, que Ion a

dfi ) 1 — f*fA ^ '

en sorte que les termes de la série précédente ont cette propriété commune avec ceux de V. On aura, cela posé,

-J ;. {x . cos. v-t-j. sin.v. COS. \|/-i-2'.sin. V. sin. \|/)