PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

suitante de toutes les forces qui animent chaque molécule de la surface extérieure soit perpendiculaire à cette surface.

23. Dans la théorie de la figure des corps célestes, les forces F, F', F\ etc. sont produites par lattraction de leurs molécules, par la force centrifuge due à leur mouvement de rotation, et par l'attraction des corps étrangers. Il est facile de s'assurer que la différence F.df-+-F.df -\-e\,c. est alors exacte; mais on le verra clairement par l'analyse que nous allons faire de ces différentes forces, en déterminant la partie de rintégrale/(F.c^-f-F'.rffVetc.) qui est relative à chacune d'elles.

Si l'on nomme dM une molécule quelconque du sphéroïde, et/ sa distance à la molécule attirée, son action sur cette dernière

sera -^r • En multipliant cette action par l'élément de sa direc- /

tion , qui est — dj, puisqu'elle tend à diminuer f^ on aura relativement à l'action de la molécule d Af, /F. df=^ -j- ; d'où il suit

que la partie de l'intégrale /{F.df-hF'. d/^'-f- etc.) qui dépend de l'attraction des molécules du sphéroïde , est égale à la somme de toutes ces molécules divisées par leurs distances respectives à la molécule attirée. Nous représenterons cette somme par V, comme nous l'avons fait précédemment.

On se propose, dans la théorie de la figure des planètes', de déterminer les lois de l'équilibre de toutes leurs parties autour de leur centre commun de gravité ; il faut donc transporter en sens contraire, à la molécule attirée, toutes les forces dont ce centre est animé en vertu de l'action réciproque de toutes les parties du sphéroïde; mais on a vu, dans le n"" 20 du premier livre , que par la propriété de ce centre la résultante de toutes ces actions sur ce point est nulle ; il n'y a donc rien à ajouter à V pour avoir l'effet total de l'attraction du sphéroïde sur la molécule attirée.

Pour déterminer Teffet de la force centrifuge, nous supposerons la position de la molécule déterminée par les trois coordonnées rectangles x,y\ z, dont nous fixerons l'origine au centre de gravité du sphéroïde- Nous supposerons ensuite que l'axe des x est Taxe de rotation , et que jf exprime la force centrifuge due à la vitesse de rotation, à la distance i de Taxe. Cette force sera nulle dans le sens des x, et égale à gy et gz dans le sens des y et des z ; en multipliant donc ces deux dernières forces respectivement par les éléments dy et dz de leurs directions, on aura \g. (y* -f- z") , pour la partie de l'intégrale f[F. df-hF. df-hetc.) qui est due à la force centrifuge du mouvement de rotation.

Si l'on nomme, comme ci-dessus, r la distance de la molécule attirée au centre de gravité du sphéroïde; d l'angle que le rayon r forme avec Taxe des x; et « l'angle que forme le plan qui passe par l'axe des x et par cette molécule, avec le plan des x et desj; enfin, si l'on fait cos. 0=fjt, on aura

x = r.fi, y^= r.\j\ — (x\ cos.tsr , z'^zz r. \j i — jx". sin.tar; d*où Ton tire

Nous mettrons cette dernière quantité sous la forme suivante,

pour assimiler ses termes à ceux de l'expression de K, que nous avons donnée dans le chapitre II ; c est-à-dire pour leur donner la propriété de satisfaire à l'équation aux différences partielles ,

dans laquelle 7'*' est une fonction rationnelle et entière de ft.