PWH- 4^.F(')-^etc.=:a.Z<^ etc

a étant un très-petit coefficient, parce que la condition d'un sphéroïde très-peu différent de la sphère exige que les forces qui l'écartent de cette figure soient très-petites, on aura

/|F.(^H-r.({fH- etc.j = r-4-ar^.{Z««JH~Z<*)+r.Z<^^^

Z^'^ satisfaisant, quel que soit i, à l'équation aux différences partielles ,

^■i"'--'Ml ufel,,(.-^.).z..,

Cffùt ) l — f^fA

L'équation générale de l'équilibre sera donc

'5î=:K4-ar\jZî*J-hZW-+.r.Z^') + r\Z<*^^etc.}. (i)

Si les corps étrangers sont très-éloignés du sphéroïde, on pourra négliger les quantités r\Z^''\ r\Z^^\ etc. parce que les différents termes de ces quantités, étant divisés respectivement par 5*, $\ etc.

s\ s\ etc. ces termes deviennent très-petits lorsque s, s, etc. sont fort grands par rapport à r. Ce cas a lieu pour les planètes et les satellites, à l'exception de Saturne, dont Taiineau est trop près de sa surface pour n'avoir pas égard aux termes précédents. Il faut donc, dans la théorie de la figure de cette planète, prolonger le second membre de l'équation (i), qui a l'avantage de former une série toujours convergente; et comme alors le nombre des corpuscules extérieurs au sphéroïde est infini, les valeurs de Z^*\ Z'*-, etc. sont données en intégrales définies, dépendantes de la figure et de la constitution intérieure de l'anneau de Saturne.

24. Le sphéroïde peut être entièrement fluide; il peut être formé d'un noyau solide recouvert par un fluide. Dans ces deux cas, l'équation (i) du numéro précédent déterminera la figure des couches de la partie fluide , en considérant que II devant être une fonction de p, le second membre de cette équation doit être constant à la surface extérieure et à celle de toutes les couches de niveau, et qu'il ne peut varier que d'une couche à l'autre.

Les deux cas précédents se réduisent à un seul lorsque le sphéroïde est homogène, car il est indiflerent, pour l'équilibre, qu'il soit entièrement fluide, ou qu'il renferme un noyau intérieur solide. Il suffit, par le n** 12, que l'on ait à la surface extérieure

constante = F-4- a r\ \Z^'^-{-Z^'^-hr.Z^''-\-r\Z^'^-hetc.\.

Si l'on substitue, dans cette équation, au lieu de F, sa valeur donnée par la formule (3) du n** 11, et si l'on observe que, par le n° 12, Y^""^ disparaît, en prenant pour a le rayon d'une sphère de même volume que le sphéroïde, et que 1^'^ est nul, lorsque l'on fixe l'origine des coordonnées au centre de gravité du sphéroïde , on aura

const. = -^ h -^— T — . T 1 H î '^ 4 r • 1 ^ ^tc.

or r^ (5 yr gr*

a ^^ iZ^«î-H Z^*U- r. Z^U- r\ Z^^^-f- etc. t .