PREMIÈRE PARTIE, LIVRE TROISIÈME

C'est Téquation de la surface du sphéroïde, en y substituant, au lieu de r, sa valeur à la surface, a.(n-aj), ou

a+aa.jr*)-+- Y^-^^-f- 7^*^-4- etc.|, ce qui donne

const.=r^.a«— ^^.|i.y^*^+|.y^^^+|.y^*^+et^

aa\|Z^*^-f-ZWH-a.Z^^J-+-a\Z^*-'-t-etc.!.

On déterminera la constante arbitraire du premier membre de cette équation au moyen de celle-ci,

const. = y TT . a*-h a a*. Z^*^ ;

on aura ensuite, en comparant les fonctions semblables, c est-àdire assujetties à la même équation aux diflFérences partielles ,

I étant plus grand que l'unité. L'équation précédente peut être mise sous la forme

y(«) := A . a«-\ Z^^ -+- -^ ./r'-\ dr.Z^^ ,

l'intégrale étant prise depuis r=o jusqu'à r=a. Le rayon a. (i-i-aj) de la surface du sphéroïde deviendra ainsi

i^:^ lZw+a.Z^»^ + a^Z^*^ + etc.( a.(n-aj) = a.| |. (2)

•#^ .fdrAZ^'^ + r. Z^^J + r\ Z^"^ + etc. |

On peut mettre cette équation sous une forme finie, en considérant que l'on a, par le numéro précédent,

a.tZ^*)-hr.ZW-+-r\Z^*)-hetc.j = — ^.(ft>— I) ^ ^'^

2 ^* ^' sr^ s*r

etc.

en sorte que l'intégrale /(ir.{Z*^-f-r.Z^'^-f-etc.| est facile à déterminer par les méthodes connues.

25. L'équation (i) du n** 23 a non-seulement l'avantage de faire connaître la figure du sphéroïde, mais encore celui de donner, par la différentiation , la loi de la pesanteur à sa surface; car il est visible que le second membre de cette équation étant l'intégrale de la somme de toutes les forces dont chaque molécule est animée, multipliées par les éléments de leurs directions respectives, on aura la partie de la résultante qui agit suivant le rayon r, en différentiant ce second membre par rapport à r; ainsi , en nommant p la force dont une molécule de la surface est sollicitée vers le centre de gravité du sphéroïde, on aura

p=— (^\ — ^ •^- !''*• ^^'^ -^^*- ^''' -^ ^'' ^^'^-^ ^*- ^^*^ -+-etc. I .

^ ^ ' "' '• f2)dunM0,

Si l'on substitue, dans cette équation, au lieu de-

leur à la surface, y^raH , donnée par l'équation (2)

et au lieu de V, sa valeur donnée par l'équation (1) du n** 23,

on aura

pz=|7ra— |aa.{Z^*-+-a.Z^^^-+-a*.Z^*J-f-etc. j

— ^.ci.|r\Zî*)H-r\Z')-4-r\Z^')^-r*.Z^*)-f-etc.}, (3)

r devant être changé en a, après les différentiatiôns , dans le second membre de cette équation, qui, par le numéro précédent, peut toujours se réduire à une fonction finie.

p ne représente pas exactement la pesanteur, mais seidement la partie de cette force , dirigée vers le centre de gravité du sphéroïde, en la supposant décomposée en deux, dont l'une soit perpendiculaire au rayon r, et dont l'autre, p, soit dirigée suivant ce rayon. La première de ces deux forces est évidemment très-