PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

corps m, par le périhélie, T sera nul; et en faisant pour abréger

J^-=ii, on aura nt=u — e. sin. u. En rassemblant ces équations du mouvement de m, autour de M, on aura

tang

nt — - H — e.sin. u, r = a . ( 1 — e. cos. a ) ,

Fangle nt étant ce que Ton nomme anomalie moyenne. La première de ces équations donne n en fonction du temps t, et les deux autres donneront r et r, lorsque u sera déterminé. L'équation entre u et f est transcendante, et ne peut être résolue que par approximation. Heureusement les circonstances des mouvements célestes donnent lieu à des approximations rapides. En efifet, les orbes des corps célestes sont ou presque circulaires, ou fort excentriques, et dans ces deux cas on peut déterminer « et f par des formules très-convergentes que nous allons développer. Pour cela , nous donnerons sur la réduction des fonctions en séries quelques théorèmes généraux qui nous seront utiles dans la suite. 2L Soit u une fonction quelconque de a, que Ton propose de développer par rapport aux puissances de a. En représentant ainsi cette suite.

u = u -4- a . ^, -h a* . ^, -i- a\ ^3 - f- a" . </„ h- a""*"' . 9^^, -k etc.

u, q,y ^,, etc. étant des quantités indépendantes de a; il est clair que u est ce que devient «, lorsqu'on y suppose a=o\ et que Ton a , quel que soit n ,

(-7-^1= 1.2.3 — /i.^„-f-2.3...(7i-hi). a.^„^,-t-etc. la différence ( -1-^ \ étant prise en faisant varier tout ce qui dans u

196 MÉCANIQUE GÉLESTE.-

doit varier avec a. Partant, si Ton suppose après les difFérentia-

tions a = o , dans l'expression de | -j-^ J , on aura

Si u est fonction des deux quantités a et a , et que l'on propose de le développer par rapport aux puissances et aux produits de a et de a; en représentant ainsi cette suite,

M==u-f-a.ç,,o-l-a\ç,,^-f-etc.

H-a . 9^., -hoa'.^,,, -4-etc.

-+-a\çoa-f-etc.

le coefficient 9„,„', du produit a".»'"', sera pareillement égal à

\da\da-')

l*3aO»**afC« l»3*0«**«fC

a et a étant supposés nuls après les différentiations.

En général, si u est fonction de cl, a, cl\ etc. et quen le développant dans -une suite ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de a, a, ol\ etc. on représente par CL". CL''' . ol'"'. etc. 7„,„',„'',eic. le terme de cette suite qui a pour facteur le produit a", a "'. a'"", etc. on aura

(y/n-i-n'-Hn"-»-etc. ^ \ da\da'-\da"-\^.)

(jn.n'.n^eic. 1.2. 3. ...71. 1.2.3. ...U, 1 .2 .3....^^ CtC. '

pourvu que Ton suppose a, a, (x\ etc. nuls après les différentiations.

Supposons maintenant que u soit fonction de a, a, a, etc. et des variables ( , {, f, etc. si par la nature de cette fonction , ou