PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

par une équation aux difierences partielles qui la représente, on parvient à obtenir

rfa".rfa'«'.etc. /

en fonction de u, et de ses diflFérences prises par rapport à t, t\ etc. en nommant F cette fonction , lorsqu'on y change u dans u , u étant ce que devient u, lorsqu'on y suppose a, a, etc. égaux à zéro; il est visible que l'on aura 9„,n',ctc. ^n divisant F par le

produit 1.2.3 /i . i . 2 . 3 n. etc. on aura donc la loi de la

série dans laquelle n est développé.

Soit d'abord n égal à une fonction quelconque de f+a, f +a', t'+a", etc. que nous désignerons par (p [t+ct, f' + a, f' +a", etc.) : dans ce cas, la différence quelconque i™ de u, prise par rapport à a, et divisée par dcC, est évidemment égale à cette même différence prise par rapport à f , et divisée par dv. La même égalité a lieu entre les différences prises par rapport à a et t', ou par rapport à a" et t\ etc. d'où il suit que l'on a généralement

\da\ da'-'. da,"-\ etc. j

^7/i-Hn'-t-n''-i-etc. n

dr.dl''''.dt"''". etc. I •

ËD changeant dans le second membre de cette équation , u en u , c'est-à-dire , en (^ {t, t', t", etc. ) , on aura , par ce qui précède ,

/ d''*"'*""*'^-.<p{t,t', t", etc.) \ V rfr.rff'"'. (/<""". etc. ) ffH.n'.n'.etc. 1.2.3.... n. 1.2.3.... «'. 1 .2. 3 .... n". etc. '

Si a est seulement fonction de t-^a, on aura

^" i.2.3....n.(Zr'

partant

Supposons ensuite que n, au lieu d'être donné immédiatement en a et t, comme dans le cas précédent, soit une fonction de x, x

étant donné par Téquation aux diflFérences partielles, ( -r-j =^\-r'\

dans laquelle z est une fonction quelconque de x. Pour réduire u dans une suite ordonnée par rapport aux puissances a, il faut

-^i:] dans le cas de a=o ; or on a, en vertu de l'équation proposée aux différences partielles ,

on aura donc

\da) ~ \dx) • \doL)~^' \dx) ' \dt) '

(du\ (d.Çzdu\ n\ iû)=\dr)' W

En difFérentiant cette équation par rapport à a, on aura

(dda\ /(/(/. Çzdu \ l^f^y dadl )'

or l'équation (A) donne, en y changeant u en fzdu,

(d . fz da\ /d . fz* du\ Ja )~\ dt )'

partant

/ddu\ { dd.Jz*du \ \doi')~\ dr )'

En difFérentiant encore par rapport à a, on aura '

^\ /(/'. fz*du \ '^J^y dadr )'

or l'équation (/c) donne, en y changeant n en fz'dii,

{d.fz'da \ {d.fz'du \ [ da )~[ dt j'