PREMIERE PARTIE, LIVRE DEUXIEME

on aura

et, par conséquent,

doù Ton tire, en réduisant les logarithmes en séries,

t;=u-4-2X.sin.aH .sin.2a-f--ô--sin.3aH — 7-.sin.4tt-+-etc.

On aura, par ce qui précède, u, sin. u, sin. 2 u, etc. en séries ordonnées par rapport aux puissances de e, et développées en sinus et cosinus de l'angle n f et de ses multîples; il ne s*agit donc, pour avoir v exprimé dans une suite semblable, que de développer les puissances successives de X, en séries ordonnées par rapport aux puissances de e.

L*équation «= 2 , donnera, parla formule [p) du numéro

précédent,

etc.

et comme on a u = i-f-\/i — e\ on aura

xtii.U JiV+ii˱!) .(i)Viii±M±«) .(i\ V etc. |.

Cela posé, on trouvera, en ne portant l'approximation que jusqu'aux quantités de l'ordre e* inclusivement,

v=n t-+A 2 e — 7 .e'H — - • e^\. sin. n t -4-7 .e* — ^ • e*H — ^ . e« I . sin. 2 n t

(Tî-^ — 64-^ i-'^^-^^'^-^-^ 48^-^r''''^'''

^^ .e*.sin. 6 nt-h ^^ .^•.sin. 6 nt 960 960

Les angles v et nt sont ici comptés du périhélie; mais si Ton veut compter ces angles de l'aphélie , il est clair qu'il suffît de faire e négatif dans les expressions précédentes de r et de v. Il suffirait encore d'augmenter dans ces expressions, l'ange nt, de la demi-circonférence , ce qui rend négatifs les sinus et les cosinus des multiples impairs de nt : ainsi les résultats de ces deux méthodes devant être identiques, il faut que dans les expressions de r et de v, les sinus et les cosinus des multiples impairs de nt soient multipliés par des puissances impaires de e, et que les sinus et cosinus des multiples pairs du même angle soient multipliés par des puissances paires de cette quantité. C'est, en effet, ce que le calcul confirme à posteriori.

Supposons qu'au lieu de compter l'angle v, du périhélie, on fixe son origine à un point quelconque; il est clair que cet angle sera augmenté d'une constante que nous désignerons par 'cy, et qui exprimera la longitude du périhélie. Si au lieu de fixer l'origine de f à l'instant du passage au périhélie, on le fixe à un instant quelconque, l'angle nt sera augmenté d'une constante que

nous désignerons par e — tzr; les expressions précédentes de - et

r a de V deviendront ainsi

-=i+Y^^—[e--je').cos.[nt+e—^)—{\e*--\e^).cos.2[nt+e-'^^ vz=nt+e+[2e—\e').sïn.[nt+e--^)+[Y^-'^e').sm.!i{nt+e'-

V est la longitude vraie de la planète, et nf-he est sa longitude moyenne, ces deux longitudes étant rapportées au plan de l'orbite.

Rapportons maintenant le mouvement de la planète à un plan fixe, peu incliné, à celui de l'orbite. Soit (p l'inclinaison mutuelle de ces deux plans, et 6 la longitude du nœud ascendant de l'orbite , comptée sur le plan fixe ; soit € cette longitude comptée sur