PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

fois indiqué par la puissance de e qui le multiplie, dt étant supposé constant; on divisera ces différentielles par la puissance correspondante de ndt. Soit F la somme de ces différentielles ainsi divisées; la formule [q) deviendra

'^{u) = '^{nt)'+-eF.

Il sera facile d*obtenir par cette méthode les valeurs de l'angle n , et des sinus et cosinus de cet angle et de ses multiples. En supposant, par exemple, \|/ (u)=sin.iu; on aura \|/'(nf) = i.cos. mf. On multipliera la valeur précédente de P par i. cos. in t, et l'on développera ce produit en sinus et cosinus de Tangle ntei de ses multiples. Les termes multipliés par les puissances paires de e seront des sinus, et les termes multipliés par les puissances impaires seront des cosinus. On changera ensuite un terme quelconque de la forme K.e*\siu.snt dans ^Ke^'.s^'^sin.snt, le signe -h ayant lieu si r est pair, et le signe — ayant lieu si r est impair. On changera pareillement un terme quelconque de la forme K ^''^'. COS. $nt dans ::p K e*'^'*'' . s*'^'^'. sïn. snt , le signe — ayant lieu si r est pair, et le signe -h ayant lieu si r est impair. La somme de tous ces termes sera la valeur de P, et Ton aura

sin. i u = sin . 1 71 f -f- e P'.

Si Ton suppose \|/(tt) = a, on aura \|/'(7if) = i, et Ton trouvera

u=n t+e.sin.n t H . 2 .sm. 2nt

H ^5-1 . j 3'.sin. 3 n f — 3 .sin. n t j

+ -j-jyT^.{4'.sin.4w^— 4.2\sin.2 7i/ }

+ — 5Vr-i-lô*.sin.57if— 5.3*.sin.3/i/ + -^.sin.7i/ 1.2.3.4.5 2^ ( 1.2

+ etc.

Cette série est fort convergente pour les planètes. Ayant ainsi déterminé u, pour un instant quelconque, on en tirera, au moyen

des équations (/) du n° 20, les valeurs correspondantes de r et de u; mais on peut avoir directement ces dernières quantités, en séries convergentes, de cette manière.

Pour cela, nous observerons que Ton a, par le n"" 20, r=a.(i — eœs.u); or, si dans la formule (^), on suppose •^(^u) = i — ecos.u, on aura '^'[nt)=esin.nt, et par conséquent

\—e.cosM=i — ecos.nt+e^.sin*.nt-\- — . — j- r. — mr — h etc.

i.a ndt i.a.3 nrdt*

On aura donc, par l'analyse précédente.

H e .COS. nt

;.j3.COS.37lf 3.COS.7l/(

— 5— ;. 4*.cos.4w^ — 4.2'.cos.a7if {

— ^-T— T.}5\cos.57if — 5.3'.cos.37if-f--^.cos.nn

î . 6*. COS. 671 f — 6. 4*. COS. 4w ^-4--^ 2*. COS. an ^

— etc.

Considérons présentement la troisième des équations [fj du n*" 20: elle donne

sin-jv / 1-4-e sin.-^K

îos.jv y I

COS.tV V I — e COS.-rtt

En substituant dans cette équation, au lieu des sinus et des cosinus, leurs valeurs en exponentielles imaginaires, on aura

wvcrî , /, I o / ^ov^

C""-' — 1 fi-he i£

en supposant donc