DETERMINATION DES ELEMENTS DU MOUVEMENT ELLIPTIQUE

26. Après avoir exposé la théorie générale du mouvement elliptique, et la manière de le calculer par des suites convergentes, dans les deux cas de la nature, celui des orbes presque circulaires, et le cas des orbes fort allongés , il nous reste à déterminer les éléments de ces orbes. Si les circonstances des mouvements primitifs des corps célestes étaient données, on pourrait facilement en conclure ces éléments. En effet, si Ton nomme V ]a vitesse de m, dans son mouvement relatif autour de Af , on aura

T,, dx^-h'd y^-+-dz^

^ ~ dr '

et la dernière des équations (p) du n° 18 donnera

Pour faire disparaître jx, de cette expression, nous désignerons par U la vitesse que m aurait, s'il décrivait autour de M un cercle d'un rayon égal à l'unité de distance. Dans cette hypothèse , on a r=a=i, et par conséquent J7"=(x; donc

Cette équation donnera le demi-grand axe a de l'orbite, au moyen de la vitesse primitive de m , et de sa distance primitive à M. a est positif dans l'ellipse ; il est infini dans la parabole , et négatif dans

rhyperbole; ainsi l'orbite décrite par m est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que V est moindre, égal ou

plus grand que f7.\ /-. Il est remarquable que la direction du

mouvement primitif n'influe point sur l'espèce de la section conique.

Pour déterminer l'excentricité de l'orbite, nous observerons que si l'on nomme e l'angle que fait la direction du mouvement

relatif de m, avec le rayon vecteur r, on a -j— = F', cos'. e. En substituant au lieu de V% sa valeur a. 1 , on aura

F = f^-(7-ïï)-^^''-^'

mais on a par le n*" 1 9 ,

on aura donc

a.(i — e') = r\ sin*. e. | 1 ,

ce qui fera connaître l'excentricité ae de Torbite. L'équation aux sections coniques,

i-he.cos. V

donne

cos.v

er

On aura ainsi l'angle v que le rayon vecteur r fait avec la distance périhélie, et par conséquent on aura la position du périhélie. Les équations (/) du n*" 20 feront ensuite connaître l'angle 11, et, par son moyen, l'instant du passage par le périhélie.

Pour avoir la position de l'orbite, par rapport à un plan fixe