PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

passant par le centre de Af, supposé immobile, soit (p Tinclinaison de l'orbite sur ce plan, et ê l'angle que le rayon r forme avec la ligne des nœuds; soit de plus z l'élévation primitive de m au-dessus du plan fixe, élévation supposée connue, on aura

r. sin. ê.sin. (p = z;

en sorte que l'inclinaison (p de l'orbite sera connue , lorsque l'on aura déterminé ê. Pour cela, nommons X, l'angle supposé connu que fait avec le plan fixe la direction primitive du mouvement relatif de m; si l'on considère le triangle formé par cette direction prolongée jusqu'à la rencontre de la ligne des nœuds, par cette dernière ligne, et par le rayon r; en nommant / le côté de ce triangle opposé à l'angle ê, on aura

r.sin. 6

sin.{e-|-e)'

on a ensuite j = sin.X; on aura donc

^ z . sin. e

tang. 6 =

r.sin.> — z.cos.e

Les éléments de l'orbite de la planète étant déterminés par ces formules, en fonctions des coordonnées r et z, de la vitesse de la planète et de la direction de son mouvement, on peut avoir les \ariations de ces éléments, correspondantes à des variations supposées dans la vitesse et dans sa direction; et il sera facile, par les méthodes que nous donnerons dans la suite, d'en conclure les variations différentielles de ces éléments, dues à l'action de forces perturbatrices.

Reprenons l'équation

dans le cercle, a=^Vj et par conséquent K=: U . \j-\ ainsi les

vitesses des planètes dans des cercles différents sont réciproques aux racines carrées de leurs rayons. ^

Dans la parabole, a = oo^ partant F=f/.i /-; les vitesses

dans les différents points de l'orbite sont donc alors réciproques aux racines carrées des rayons vecteurs, et la vitesse à chaque point est à celle qu'aurait la planète, si elle décrivait un cercle d'un rayon égal au rayon vecteur r, comme y/â : i .

Une ellipse infiniment aplatie se change en ligne droite, et, dans ce cas, V exprime la vitesse de m, s'il descendait en ligne droite vers M. Supposons que m parte de l'état du repos , et que sa distance primitive à M soit r; supposons de plus que, parvenu à la distance r, il ait acquis la vitesse V, l'expression précédente de la vitesse donnera les deux équations suivantes :

r a' Ira)

il i r r )

d'où l'on tire V'=^U. \/—^ — ? — ■;

c'est l'expression de la vitesse relative acquise par m, en partant de la distance r, et en tombant vers M de la hauteur r — r. On déterminera facilement, au moyen de cette formule, de quelle hauteur le corps m, mû dans une section conique, devrait tomber vers M, pour acquérir, en partant de l'extrémité du rayon vecteur r, une vitesse relative égale à celle quil a à cette extrémité; car, Fêtant cette dernière vitesse, on a

( r a] mais le carré de la vitesse acquise en tombant de la hauteur r — r',

est 2 U'. '" ' , ; en égalant ces deux expressions , on aura donc

Dans le cercle a=r, et alors r — r = Yr; dans l'ellipse, on a