PREMIERE PARTIE, LIVRE DEUXIEME

on aura

La distance projetée p de la comète à la terre étant toujours positive, cette équation fait voir que la dislance r de la comète au soleil est plus petite ou plus grande que la distance R du soleil à la terre, suivant que jx' est positif ou négatif: ces deux distances sont égales, si (x'=o.

On peut, par l'inspection seule d'un globe céleste, déterminer le signe de jx'; et, par conséquent, si la comète est plus près ou plus loin que la terre du soleil. Pour cela, imaginons ujj grand cercle qui passe par deux positions géocentriques et infiniment voisines de la coniète. Soit y l'inclinaison de ce cercle à l'écliptique, et X la longitude de son nœud ascendant, on aura

tang.y.sin. (a — XJ-^r tang.0; d'où l'on tire

dd.siu. (a — X) = doL . sin.d . cos.d. COS. (a — X);

en difiFérentiant encore, on aura

/da\ ddB (de\ /dda\ /da\ ( dOV , ^

^ = [jj) ' Yr - [it) • y-dr) -^- ' [jt) • [dT) • *^"g-^

f- (;77-) .sin.O.cos.ô,

ddO^ étant la valeur de ddd qui aurait lieu si le mouvement apparent de la comète continuait dans le grand cercle. La valeur de (i devient ainsi, en y substituant pour dO sa valeur

da . sin. 6 . ces. 6 . ces. (a — X)

sin.(a — X)

sin . ô . COS. 6 . sin . ( /l - -a)

La fonction . '; ^ est constamment positive ; la valeur de a

sm.O.cos.O ^ fddO\ /dd9\

est donc positive ou négative, suivant que (-^77) — ("TTi^) ^^* ^^

même signe, ou d'un signe contraire à sin. [A — X); or A — X est égal à deux angles droits, plus à la distance du soleil au nœud ascendant du grand cercle; d'où il est facile de conclure que fi sera positif ou négatif, suivant que dans une troisième position géocentrique de la comète, infiniment voisine des deux premières, la comète s'écartera du grand cercle, du même côté où se trouve le soleil, ou du côté opposé. Concevons donc que, par deux positions géocentriques très-voisines de la comète , on fasse passer un grand cercle de la sphère; si dans une troisième position géocentrique consécutive et très-voisine des deux premières, la comète s'écarte de ce grand cercle, du même côté que le soleil, ou du côté opposé, elle sera plus près ou plus loin du soleil que la terre; elle en sera également éloignée, si elle continue de paraître dans ce grand cercle : ainsi les diverses inflexions de sa route apparente nous éclairent sur les variations de sa distance au soleil.

Pour éliminer r de l'équation ( 3 ) , et pour réduire cette équation à ne renfermer que l'inconnue p, nous observerons que Ton a r*=a^-i-j*-+-2;*; en substituant au lieu àex, y,z, leurs valeurs en |0, a et 0, on aura

r^=x*-hy*-h 2p.\x. COS. a-hj. sin- a } H ^ ;

mais on a x=R.cos.A, y=R.sin.A; partant

2 R. p. COS. [A — a) -t-/î'.

cos*.fl

Si l'on carre les deux membres de l'équation (3) mise sous cette forme ,

r\ \(iR'p'+'i]=R';