PREMIÈRE PARTIE, LIVRE DEUXIÈME

Comme on peut comparer ainsi deux à deux les trois observations, il sera plus exact de choisir celles qui donnent aux fractions précédentes les plus grands numérateurs et les plus grands dénominateurs.

Tang.j pouvant appartenir également aux deux angles j et ir H-y, j étant le plus petit des angles positifs auxquels appartient sa valeur; pour déterminer celui des deux angles qu'il faut choisir, on observera que ^ est positif et moindre qu un angle droit; et qu'ainsi sin.[S"—j) doit être du même signe que tang. ^\ Cette condition déterminera Tangle j, et cet angle sera la position du nœud ascendant, si le mouvement de la comète est direct; mais, si ce mouvement est rétrograde, il faudra ajouter deux angles droits à Tangle j pour avoir la position de ce nœud.

L'hypoténuse du triangle sphérique dont ê' — j et 'f/ sont les c6té8 est la distance de la comète à son nœud ascendant, dans la troisième observation; et la différence entre v' et cette hypo- ^ ténuse est Tintervalle entre le nœud et le périhélie compté sur lorbite.

Si Ton veut donner à la théorie d'une comète toute la précision que les observations comportent, il faut l'établir sur l'ensemble des meilleures observations, ce que l'on pourra faire ainsi. Marquons d'un trait, de deux traits, etc. les lettres m, /i, p, relatives à la seconde observation, à la troisième, etc. comparées toutes à la première observation; on formera les équations

(m — n ).m-(/ii — p ).t=m, [m! — n ) . tt -H [m! — p) . t=m , ( m'— n).n-h {m'—p'') . f = m" ; etc.

En combinant ensuite ces équations de la manière la plus avantageuse pour déterminer u et t, on aura les corrections de la distance périhélie et de l'instant du passage au périhélie fondées

sur l'ensemble de ces observations. On en conclura les valeurs de ê, 6', ê", etc. tff, «', «y', etc. et Ton aura

tang.tar . [ sin. g^+sin. g^+etc. [—sîn. 6 . j taDg.tar^4-tang.ty''+etc. { ^ ^'J tang.«r.|cos. 6'+cos. ê'^+etc.}— ces. 6. jtang.«r'+tang.«r''-f-etcr( '

ta ng . ^0+ tang. ty^+ etc .

*^^S-r — sin.{e'-j)+sin.(e''--7)+etc. *

38. Il existe un cas, à la vérité fort rare, dans lequel Torbite d'une comète peut être déterminée d'une manière rigoureuse et simple : c'est le cas où la comète a été observée dans ses deux nœuds. La droite qui joint ses deux positions observées passe alors par le centre du soleil et se confond avec la ligne des nœuds. La longueur de cette droite est déterminée par le temps écoulé entre les deux observations; en nommant Tce temps, réduit en décimales de jour, et en désignant par c la droite dont il s'agit, on aura, par le n"" 27,

Soit maintenant € la longitude héliocentrique de la comète au moment de la première observation; soient r son rayon vecteur, p sa distance à la terre, et a sa longitude géocentrique. Soient encore R le rayon de l'orbe terrestre au même instant, et E la longitude correspondante du soleil, on aura

r. sin.ê=|0.sin.a — R.sin.E r. COS. ê=p . COS. a — R . cos. E.

ir -F ê sera la longitude héliocentrique de la comète à l'instant de la seconde observation, et si l'on marque d'un trait les quantités r, a, p, R ci E, relatives à ce même instant, on aura

r . sin. ê=jR'. sin. E' — p. sin. a , r. cos. êi= R\ cos. E' — p\ cos. a.

ce qui donne

On aura donc Tanomalie v de la comète à l'instant de la première observation, et sa distance périhélie D, d'où il est facile de conclure la position du périhélie et l'instant du passage de la comète par ce point. Ainsi, des cinq éléments de l'orbite de la comète, quatre sont connus, savoir : la distance périhélie, la position du périhélie, l'instant du passage de la comète par ce point et la position du nœud. Il ne restera plus à connaître que l'inclinaison de l'orbite; mais, pour cela, il sera nécessaire de recourir à une troisième observation qui servira d'ailleurs à choisir parmi les difFérentes racines réelles et positives de l'équation en p celles dont on doit faire usage.

39. La supposition du mouvement parabolique des comètes n'esl pas rigoureuse; elle est même infiniment peu probable, vu le nombre infini des cas qui donnent un mouvement elliptique ou hyperbolique, relativement à ceux qui déterminent le mouvement parabolique. D'ailleurs, une comète mue dans un orbe soit parabolique, soit hyperbolique, ne serait visible qu'une fois; ainsi l'on peut supposer avec vraisemblance que les comètes qui décrivent ces courbes, s'il en existe quelques-unes, ont depuis longtemps disparu; en sorte que nous n'observons aujourd'hui que celles qui, mues dans des orbes rentrants, sont ramenées sans cesse, à des intervalles plus ou moins grands, dans les régions de l'espace voisines du soleil. On pourra, par la méthode suivante, déterminer, à quelques années près, la durée de leurs révolutions, lorsque l'on aura un grand nombre d'observations très-précises avant et après le passage au périhélie.

Pour cela, supposons que l'on ait quatre ou un plus grand nombre de bonnes observations qui embrassent toute la partie visible de l'orbite, et que l'on ait déterminé, par la méthode pré-

au lieu de v, cette anomalie ainsi calculée dans Tellipse, on aura le rayon vecteur r correspondant. On calculera de la même manière V, r, v\ r, v'y r*, etc. d'où Ton tirera les valeurs de U, U', IJ\ U\ etc. et, par le n° 37, celles de V, V\ V\ etc. Soit, dans ce cas,

(l=U—F, q'=U'—V', (i"=:U"—V\ (f=U"'—V\ etc.

Nommons enfin u le nombre par lequel on doit multiplier la variation supposée dans la distance périhélie, pour avoir la véritable ; t le nombre par lequel on doit multiplier la variation supposée dans l'instant du passage par le périhélie, pour avoir ce véritable instant; et s le nombre par lequel on doit multiplier la valeur supposée pour i — e, pour avoir la véritable; on formera les équations ,

(m — n) .a-+-(m — p) .fH-(m — ^).5 = m,

( m — 7i') . tt -h ( m — p) . ' -h ( rn — q) .$ = m, m — n j . tt -h ( m — p ) . t -f- (m — cj j .s = m , m — n j . H -h (m — p j . t-h[m — cj j .s = m ,

On déterminera, au moyen de ces équations, les valeurs de m, t, s; d'où l'on tirera la vraie distance périhélie , le véritable instant du passage de la comète au périhélie, et la vraie valeur de i — e. Soit D la distance périhélie, et a le demi-grand axe de l'orbite,

on aura a= ; le temps de la révolution sidérale de la comète

sera exprimé par un nombre d'années sidérales égal à a * , ou à

( 1 , la moyenne distance du soleil à la terre étant prise pour

unité. On aura ensuite, par le n^ 37, l'inclinaison de l'orbite et la position du nœud.