DE LEURS PERTURBATIONS
46. Appliquons maintenant les méthodes précédentes aux perturbations des mouvements célestes, pour en conclure les expressions les plus simples de leurs inégalités périodiques et séculaires. Reprenons pour cela les équations difiFérentielles (i), (2) et (3) du n"* 9 , qui déterminent le mouvement relatif de m autour de M. Si l'on fait
^^ m\{xx'-\-yy-i-zz') ^ m\{xx"-i-yf-^zz") ^ ^^^ \^ ^
X étant, par le numéro cité, égal à
mm' mm"
etc.
\[^''-^y+[f-y'Y+{z"-zj\-^
Si, de plus, on suppose M-4-m = (x, et r = y a;*-t-j*H- :^*, r = sj X* -hj * -t- z!\ etc. on aura
ddx dr
ddy dt*
ddz dr
ft. z
\dx ) '
La somme de ces trois équations multipliées respectivement par dx, dy, dzy donne en l'intégrant,
o = 1^ -f-f-^-f-2./diî, (Q)
la difiFérentielle àR étant uniquement relative aux coordonnées x,y, z, du corps m, et a étant une constante arbitraire qui, lorsque R est nul, devient, par les n"*' 18 et 19, le demi-grand axe de l'ellipse décrite par m autour de M.
Les équations (P) multipliées respectivement par x, y , z, et ajoutées à l'intégrale (Q), donneront
d^-r" P^ y^ /-JD ldR\ (dR\ (dR\ ,o,
Maintenant on peut concevoir les masses perturbatrices m', m, etc. multipliées par un coefficient a; et alors la valeur de r sera fonction du temps t et de cl. Si l'on développe cette fonction par rapport aux puissances de a, et que l'on fasse a= i , après ce développement, elle sera ordonnée par rapport aux puissances et aux produits des masses perturbatrices. Désignons par la caractéristique S placée devant une quantité la différentielle de cette quantité prise par rapport à a et divisée par da. Lorsque l'on aura déterminé 5r, dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de a, on aura le rayon r, en multipliant cette suite par dcL, en l'intégrant ensuite par rapport à a, et en ajoutant à cette intégrale une fonction de t indépendante de a, fonction qui est évidemment la valeur de r dans le cas où les forces perturbatrices sont nulles et où le corps m décrit une section conique. La détermination de r se réduit donc à former et à intégrer l'équation différentielle qui détermine 5r.
Pour cela reprenons l'équation difiFérentielle ( iî ) , et faisons , pour plus de simplicité ,
en la différentiant par rapport à œ, on aura
d^.rSr (i.rSr
dt
^JdR-^h.rR. {S)
Nommons rft; Tare infiniment petit intercepté entre les deux rayons vecteurs r et r-h-dr; l'élément de la courbe décrite par m autour
de M sera ^dr^ + rlâv"; on aura ainsi da^+dy+dz*=dr*+î*dv^; et l'équation (Q) deviendra
= -jj- î--h--l-îi-/d/{.
dV r a *^
En éliminant - de cette équation , au moyen de l'équation ( it ) ,
a on aura
r'dv* r.ddr
d'où l'on tire, en di£Férentiant par rapport à a,
2r*dv.d.Sv r.ddJr — Sr.ddr iurSr ^^, r^, ^
dr = df^ —^r.èR-R.Br.
Si l'on substitue dans cette équation, au lieu de ^^~ — , sa valeur tirée de l'équation ( 5 ) , on aura
, ^ d.{dr.Sr-{'2r.dSr)-hdt\ \Z.fS.àR^2r.SR''^-R\Sr\ .j^
On pourra, au moyen des équations [S) et (T), avoir aussi exactement que l'on voudra les valeurs de 3 r et de hv ; mais on doit observer que dv étant l'angle intercepté entre les rayons r et r+dr, l'intégrale v de ces angles n'est pas dans un même plan. Pour en conclure la valeur de l'angle décrit autour de AT par la projection du rayon vecteur r sur un plan fixe, désignons par v ce dernier angle, et nommons s la tangente de la latitude de m au-dessus de
